Номер 19.3, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.3. Вычислите:

$8 \cdot \sqrt[3]{\left(3\frac{3}{8}\right)^{-2}} \cdot \sqrt{324} + \frac{\sqrt[3]{256} \cdot \sqrt[5]{-27}}{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[5]{\frac{1}{9}}}$

Для вычисления значения выражения разобьем его на три последовательных действия.

1. Вычислим первое слагаемое $8 \cdot \sqrt[3]{(3 \frac{3}{8})^{-2}} \cdot \sqrt{324}$
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3 \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$.
Далее, упростим выражение под кубическим корнем, используя свойства степеней. Отрицательная степень переворачивает дробь: $(3 \frac{3}{8})^{-2} = (\frac{27}{8})^{-2} = (\frac{8}{27})^{2} = \frac{64}{729}$.
Теперь извлечем кубический корень: $\sqrt[3]{\frac{64}{729}} = \frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{729}} = \frac{4}{9}$.
Вычислим квадратный корень из 324: $\sqrt{324} = 18$.
Перемножим полученные значения: $8 \cdot \frac{4}{9} \cdot 18 = 8 \cdot 4 \cdot \frac{18}{9} = 8 \cdot 4 \cdot 2 = 64$.
Ответ: 64.

2. Вычислим второе слагаемое $\frac{\sqrt[3]{256} \cdot \sqrt[5]{-27}}{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[5]{-\frac{1}{9}}}$
Сгруппируем корни с одинаковыми показателями, используя свойство $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$: $\frac{\sqrt[3]{256}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{\sqrt[5]{-27}}{\sqrt[5]{-\frac{1}{9}}} = \sqrt[3]{\frac{256}{4}} \cdot \sqrt[5]{\frac{-27}{-\frac{1}{9}}}$.
Вычислим значение первого множителя: $\sqrt[3]{\frac{256}{4}} = \sqrt[3]{64} = 4$.
Вычислим значение второго множителя. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь, при этом знаки минус сокращаются: $\sqrt[5]{\frac{-27}{-\frac{1}{9}}} = \sqrt[5]{27 \cdot 9} = \sqrt[5]{243} = \sqrt[5]{3^5} = 3$.
Перемножим результаты: $4 \cdot 3 = 12$.
Ответ: 12.

3. Найдем итоговую сумму
Сложим результаты, полученные в первом и втором действиях:
$64 + 12 = 76$.
Ответ: 76.