Номер 19.4, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.4. Найдите значение выражения:

a) $\sqrt[4]{11-2\sqrt{10}} \cdot \sqrt[4]{11+2\sqrt{10}}$;б) $\sqrt[3]{9+\sqrt{17}} \cdot \sqrt[3]{17-9}.$

а) Для упрощения данного выражения воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[4]{11 - 2\sqrt{10}} \cdot \sqrt[4]{11 + 2\sqrt{10}} = \sqrt[4]{(11 - 2\sqrt{10})(11 + 2\sqrt{10})}$.
Выражение под корнем является произведением сопряженных иррациональных чисел, которое можно упростить по формуле разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
В нашем случае $x=11$ и $y=2\sqrt{10}$.
$(11 - 2\sqrt{10})(11 + 2\sqrt{10}) = 11^2 - (2\sqrt{10})^2 = 121 - (4 \cdot 10) = 121 - 40 = 81$.
Таким образом, исходное выражение сводится к $\sqrt[4]{81}$.
Так как $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$, то корень четвертой степени из 81 равен 3.
$\sqrt[4]{81} = 3$.
Ответ: 3.

б) Для начала заметим, что $\sqrt{17} < \sqrt{81} = 9$, поэтому выражение под вторым корнем $\sqrt{17}-9$ является отрицательным. Вынесем минус за скобки: $\sqrt{17}-9 = -(9-\sqrt{17})$.
Используем свойство нечетного корня $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$.
$\sqrt[3]{9+\sqrt{17}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{17}-9} = \sqrt[3]{9+\sqrt{17}} \cdot \sqrt[3]{-(9-\sqrt{17})} = -\sqrt[3]{9+\sqrt{17}} \cdot \sqrt[3]{9-\sqrt{17}}$.
Теперь, как и в предыдущем примере, объединим корни по свойству $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$-\sqrt[3]{(9+\sqrt{17})(9-\sqrt{17})}$.
Применяем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x=9$ и $y=\sqrt{17}$:
$(9+\sqrt{17})(9-\sqrt{17}) = 9^2 - (\sqrt{17})^2 = 81 - 17 = 64$.
Выражение принимает вид $-\sqrt[3]{64}$.
Поскольку $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$, то $\sqrt[3]{64} = 4$.
Следовательно, итоговое значение равно $-4$.
Ответ: -4.