Номер 19.5, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.5. Представьте выражение $\sqrt{a - b}$ в виде корня:

а) четвертой степени;

б) шестой степени;

в) десятой степени;

г) шестнадцатой степени.

Чтобы представить выражение $\sqrt{a-b}$ в виде корня другой степени, мы используем основное свойство корня: $\sqrt[n]{x^m} = \sqrt[nk]{x^{mk}}$. Исходное выражение является квадратным корнем, то есть корнем второй степени: $\sqrt{a-b} = \sqrt[2]{(a-b)^1}$.

а) четвертой степени;
Чтобы получить корень четвертой степени из корня второй степени, необходимо показатель корня (2) и показатель степени подкоренного выражения (1) умножить на $4 \div 2 = 2$.
$\sqrt{a-b} = \sqrt[2]{(a-b)^1} = \sqrt[2 \cdot 2]{(a-b)^{1 \cdot 2}} = \sqrt[4]{(a-b)^2}$.
Ответ: $\sqrt[4]{(a-b)^2}$.

б) шестой степени;
Чтобы получить корень шестой степени из корня второй степени, необходимо показатель корня (2) и показатель степени подкоренного выражения (1) умножить на $6 \div 2 = 3$.
$\sqrt{a-b} = \sqrt[2]{(a-b)^1} = \sqrt[2 \cdot 3]{(a-b)^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{(a-b)^3}$.
Ответ: $\sqrt[6]{(a-b)^3}$.

в) десятой степени;
Чтобы получить корень десятой степени из корня второй степени, необходимо показатель корня (2) и показатель степени подкоренного выражения (1) умножить на $10 \div 2 = 5$.
$\sqrt{a-b} = \sqrt[2]{(a-b)^1} = \sqrt[2 \cdot 5]{(a-b)^{1 \cdot 5}} = \sqrt[10]{(a-b)^5}$.
Ответ: $\sqrt[10]{(a-b)^5}$.

г) шестнадцатой степени.
Чтобы получить корень шестнадцатой степени из корня второй степени, необходимо показатель корня (2) и показатель степени подкоренного выражения (1) умножить на $16 \div 2 = 8$.
$\sqrt{a-b} = \sqrt[2]{(a-b)^1} = \sqrt[2 \cdot 8]{(a-b)^{1 \cdot 8}} = \sqrt[16]{(a-b)^8}$.
Ответ: $\sqrt[16]{(a-b)^8}$.