Номер 19.7, страница 101 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.7. Упростите выражение:

а) $\sqrt[6]{\sqrt[5]{a}}$;

б) $\sqrt[8]{\sqrt{a}}$;

в) $\sqrt{\sqrt[3]{a^4}}$;

г) $\sqrt[8]{\sqrt[3]{a^{12}}}$;

д) $\sqrt[4]{\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt{a}}$;

е) $\sqrt[5]{\sqrt{a} \cdot \sqrt[6]{\sqrt{a}}}$.

а) Для упрощения выражения $\sqrt[6]{\sqrt[5]{a}}$ воспользуемся свойством корня из корня: $\sqrt[n]{\sqrt[m]{b}} = \sqrt[n \cdot m]{b}$. Перемножая показатели корней $6$ и $5$, получаем:
$\sqrt[6]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[6 \cdot 5]{a} = \sqrt[30]{a}$.
Ответ: $\sqrt[30]{a}$.

б) Выражение $\sqrt[8]{\sqrt{a}}$ можно записать как $\sqrt[8]{\sqrt[2]{a}}$. Используя то же свойство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{b}} = \sqrt[n \cdot m]{b}$, перемножаем показатели корней $8$ и $2$:
$\sqrt[8]{\sqrt[2]{a}} = \sqrt[8 \cdot 2]{a} = \sqrt[16]{a}$.
Ответ: $\sqrt[16]{a}$.

в) В выражении $\sqrt{\sqrt[3]{a^4}}$ внешний корень является квадратным, то есть $\sqrt[2]{\sqrt[3]{a^4}}$. Применяем свойство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{b^k}} = \sqrt[n \cdot m]{b^k}$:
$\sqrt[2]{\sqrt[3]{a^4}} = \sqrt[2 \cdot 3]{a^4} = \sqrt[6]{a^4}$.
Затем сокращаем показатель корня $6$ и показатель степени $4$ на их наибольший общий делитель, который равен $2$:
$\sqrt[6]{a^4} = \sqrt[6/2]{a^{4/2}} = \sqrt[3]{a^2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{a^2}$.

г) Упрощаем $\sqrt[8]{\sqrt[3]{a^{12}}}$ по свойству $\sqrt[n]{\sqrt[m]{b^k}} = \sqrt[n \cdot m]{b^k}$:
$\sqrt[8]{\sqrt[3]{a^{12}}} = \sqrt[8 \cdot 3]{a^{12}} = \sqrt[24]{a^{12}}$.
Сокращаем показатель корня $24$ и показатель степени $12$ на их наибольший общий делитель $12$:
$\sqrt[24]{a^{12}} = \sqrt[24/12]{a^{12/12}} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt{a}$.
Ответ: $\sqrt{a}$.

д) В выражении $\sqrt[4]{\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt{a}}$ сначала упростим произведение под внешним корнем. Для этого представим корни в виде степеней с рациональным показателем: $\sqrt[6]{a} = a^{1/6}$ и $\sqrt{a} = a^{1/2}$.
$\sqrt[6]{a} \cdot \sqrt{a} = a^{1/6} \cdot a^{1/2} = a^{1/6 + 1/2} = a^{1/6 + 3/6} = a^{4/6} = a^{2/3}$.
Теперь подставим упрощенное выражение обратно:
$\sqrt[4]{a^{2/3}} = (a^{2/3})^{1/4} = a^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4}} = a^{\frac{2}{12}} = a^{\frac{1}{6}}$.
Запишем результат в виде корня: $a^{1/6} = \sqrt[6]{a}$.
Ответ: $\sqrt[6]{a}$.

е) Выражение $\sqrt[5]{\sqrt{a}} \cdot \sqrt[6]{\sqrt[5]{a}}$ является произведением двух корней. Упростим каждый из них по отдельности, используя свойство $\sqrt[n]{\sqrt[m]{b}} = \sqrt[n \cdot m]{b}$:
$\sqrt[5]{\sqrt{a}} = \sqrt[5 \cdot 2]{a} = \sqrt[10]{a}$.
$\sqrt[6]{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[6 \cdot 5]{a} = \sqrt[30]{a}$.
Теперь перемножим их, представив в виде степеней и используя свойство $b^x \cdot b^y = b^{x+y}$:
$\sqrt[10]{a} \cdot \sqrt[30]{a} = a^{1/10} \cdot a^{1/30} = a^{1/10 + 1/30} = a^{3/30 + 1/30} = a^{4/30} = a^{2/15}$.
Результат в виде корня: $\sqrt[15]{a^2}$.
Ответ: $\sqrt[15]{a^2}$.