Номер 19.11, страница 101 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.11. Верно ли, что значение выражения $\sqrt[4]{(\sqrt[5]{90} - \sqrt[5]{10})^4} - \sqrt[5]{90} - \sqrt[5]{10}$ является рациональным числом?

Чтобы ответить на вопрос, является ли значение выражения рациональным числом, необходимо его упростить. Рассмотрим данное выражение:

$$ \sqrt[4]{(\sqrt[5]{90} - \sqrt[5]{10})^4} - \sqrt[5]{90} - \sqrt[5]{10} $$

Воспользуемся свойством корня четной степени $ \sqrt[n]{a^n} = |a| $ для $ n=4 $ (четное число). Таким образом, первый член выражения преобразуется в модуль разности:

$$ \sqrt[4]{(\sqrt[5]{90} - \sqrt[5]{10})^4} = |\sqrt[5]{90} - \sqrt[5]{10}| $$

Далее, чтобы раскрыть модуль, определим знак выражения внутри него. Сравним числа $ \sqrt[5]{90} $ и $ \sqrt[5]{10} $. Функция $ y=\sqrt[5]{x} $ является возрастающей для всех действительных $ x $, поэтому из того, что $ 90 > 10 $, следует, что $ \sqrt[5]{90} > \sqrt[5]{10} $.

Следовательно, разность $ \sqrt[5]{90} - \sqrt[5]{10} $ положительна, и модуль раскрывается со знаком "плюс":

$$ |\sqrt[5]{90} - \sqrt[5]{10}| = \sqrt[5]{90} - \sqrt[5]{10} $$

Теперь подставим упрощенное выражение обратно в исходное:

$$ (\sqrt[5]{90} - \sqrt[5]{10}) - \sqrt[5]{90} - \sqrt[5]{10} $$

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получаем:

$$ \sqrt[5]{90} - \sqrt[5]{10} - \sqrt[5]{90} - \sqrt[5]{10} = (\sqrt[5]{90} - \sqrt[5]{90}) - (\sqrt[5]{10} + \sqrt[5]{10}) = 0 - 2\sqrt[5]{10} = -2\sqrt[5]{10} $$

В результате упрощения мы получили число $ -2\sqrt[5]{10} $. Рациональным называется число, которое можно представить в виде дроби $ p/q $, где $ p $ — целое, а $ q $ — натуральное число. Число $ \sqrt[5]{10} $ является иррациональным, так как не существует рационального числа, пятая степень которого равна 10. Произведение ненулевого рационального числа ($ -2 $) на иррациональное число ($ \sqrt[5]{10} $) также является иррациональным числом.

19.11. Значение выражения равно $ -2\sqrt[5]{10} $, что является иррациональным числом, следовательно, утверждение о том, что оно рационально, неверно. Ответ: нет.