Номер 19.15, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.15. Представьте в виде многочлена выражение:

а) $\sqrt[4]{(2m - 5.4)^4}$ при $-1 \le m \le 1;$

б) $\sqrt[6]{(3n - 12.1)^6} - 12.1$ при $-5 \le n \le 4;$

в) $\sqrt[8]{(2a - 1.8)^8} - \sqrt[10]{(3.2a + 1.6)^{10}} - 2a - 1.6$ при $-0.4 \le a \le 0.5;$

г) $\sqrt[4]{(9b - 1)^4} + \sqrt[6]{(2b + 3.4)^6} - b + 3.5$ при $-2.8 \le b \le -1.8.$

а) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{(2m - 5,4)^4}$ при $-1 \le m \le 1$ воспользуемся свойством корня четной степени: $\sqrt[2k]{A^{2k}} = |A|$. В данном случае $k=2$, поэтому $\sqrt[4]{(2m - 5,4)^4} = |2m - 5,4|$. Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения $2m - 5,4$ на заданном интервале. Оценим значение $2m - 5,4$: Так как $-1 \le m \le 1$, умножим все части неравенства на 2: $2 \cdot (-1) \le 2m \le 2 \cdot 1 \implies -2 \le 2m \le 2$. Теперь вычтем 5,4 из всех частей: $-2 - 5,4 \le 2m - 5,4 \le 2 - 5,4 \implies -7,4 \le 2m - 5,4 \le -3,4$. Поскольку выражение $2m - 5,4$ всегда отрицательно на данном промежутке, то $|2m - 5,4| = -(2m - 5,4) = -2m + 5,4$. Ответ: $-2m + 5,4$.

б) Упростим выражение $\sqrt[6]{(3n - 12,1)^6} - 12,1$ при $-5 \le n \le 4$. Используем свойство $\sqrt[2k]{A^{2k}} = |A|$. $\sqrt[6]{(3n - 12,1)^6} - 12,1 = |3n - 12,1| - 12,1$. Определим знак выражения $3n - 12,1$ на интервале $-5 \le n \le 4$. Умножим неравенство на 3: $3 \cdot (-5) \le 3n \le 3 \cdot 4 \implies -15 \le 3n \le 12$. Вычтем 12,1: $-15 - 12,1 \le 3n - 12,1 \le 12 - 12,1 \implies -27,1 \le 3n - 12,1 \le -0,1$. Выражение $3n - 12,1$ всегда отрицательно, значит $|3n - 12,1| = -(3n - 12,1) = -3n + 12,1$. Подставим это в исходное выражение: $(-3n + 12,1) - 12,1 = -3n + 12,1 - 12,1 = -3n$. Ответ: $-3n$.

в) Упростим выражение $\sqrt[8]{(2a - 1,8)^8} - \sqrt[10]{(3,2a + 1,6)^{10}} - 2a - 1,6$ при $-0,4 \le a \le 0,5$. Применим свойство $\sqrt[2k]{A^{2k}} = |A|$ к обоим корням: Выражение равно $|2a - 1,8| - |3,2a + 1,6| - 2a - 1,6$. 1. Определим знак $2a - 1,8$ на интервале $-0,4 \le a \le 0,5$: $2 \cdot (-0,4) \le 2a \le 2 \cdot 0,5 \implies -0,8 \le 2a \le 1$. $-0,8 - 1,8 \le 2a - 1,8 \le 1 - 1,8 \implies -2,6 \le 2a - 1,8 \le -0,8$. Выражение $2a - 1,8$ отрицательно, поэтому $|2a - 1,8| = -(2a - 1,8) = -2a + 1,8$. 2. Определим знак $3,2a + 1,6$ на том же интервале: $3,2 \cdot (-0,4) \le 3,2a \le 3,2 \cdot 0,5 \implies -1,28 \le 3,2a \le 1,6$. $-1,28 + 1,6 \le 3,2a + 1,6 \le 1,6 + 1,6 \implies 0,32 \le 3,2a + 1,6 \le 3,2$. Выражение $3,2a + 1,6$ положительно, поэтому $|3,2a + 1,6| = 3,2a + 1,6$. Подставим раскрытые модули в выражение: $(-2a + 1,8) - (3,2a + 1,6) - 2a - 1,6 = -2a + 1,8 - 3,2a - 1,6 - 2a - 1,6$. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(-2a - 3,2a - 2a) + (1,8 - 1,6 - 1,6) = -7,2a - 1,4$. Ответ: $-7,2a - 1,4$.

г) Упростим выражение $\sqrt[4]{(9b - 1)^4} + \sqrt[6]{(2b + 3,4)^6} - b + 3,5$ при $-2,8 \le b \le -1,8$. Используя свойство $\sqrt[2k]{A^{2k}} = |A|$, получаем: $|9b - 1| + |2b + 3,4| - b + 3,5$. 1. Определим знак $9b - 1$ на интервале $-2,8 \le b \le -1,8$: $9 \cdot (-2,8) \le 9b \le 9 \cdot (-1,8) \implies -25,2 \le 9b \le -16,2$. $-25,2 - 1 \le 9b - 1 \le -16,2 - 1 \implies -26,2 \le 9b - 1 \le -17,2$. Выражение $9b - 1$ отрицательно, следовательно $|9b - 1| = -(9b - 1) = -9b + 1$. 2. Определим знак $2b + 3,4$ на том же интервале: $2 \cdot (-2,8) \le 2b \le 2 \cdot (-1,8) \implies -5,6 \le 2b \le -3,6$. $-5,6 + 3,4 \le 2b + 3,4 \le -3,6 + 3,4 \implies -2,2 \le 2b + 3,4 \le -0,2$. Выражение $2b + 3,4$ отрицательно, следовательно $|2b + 3,4| = -(2b + 3,4) = -2b - 3,4$. Подставим раскрытые модули в выражение: $(-9b + 1) + (-2b - 3,4) - b + 3,5 = -9b + 1 - 2b - 3,4 - b + 3,5$. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(-9b - 2b - b) + (1 - 3,4 + 3,5) = -12b + 1,1$. Ответ: $-12b + 1,1$.