Номер 20.1, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.1. Выберите неверное равенство:

а) $\sqrt{45a^3} = 3a\sqrt{5a};$

б) $\sqrt[5]{-32x^6} = -2x\sqrt[5]{-x};$

в) $\sqrt[4]{16(m-n)^4} = 2|m-n|;$

г) $\sqrt[8]{(-5)^8 a^{12}} = 5|a|\sqrt{|a|};$

д) $\sqrt[6]{-64y^7} = -2y\sqrt[6]{-y}.$

Для того чтобы выбрать неверное равенство, проанализируем каждое из предложенных утверждений.

Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $45a^3 \ge 0$, что выполняется при $a \ge 0$. Упростим левую часть равенства, вынося множители из-под знака корня: $\sqrt{45a^3} = \sqrt{9 \cdot 5 \cdot a^2 \cdot a} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{5a}$. Поскольку $a \ge 0$, то $\sqrt{a^2} = a$. Следовательно, $\sqrt{45a^3} = 3a\sqrt{5a}$. Равенство выполняется для всех допустимых значений a. Ответ: верно.

Корень нечетной степени (пятой) определен для любых действительных чисел. Упростим левую часть: $\sqrt[5]{-32x^6} = \sqrt[5]{-32 \cdot x^5 \cdot x} = \sqrt[5]{(-2)^5 \cdot x^5 \cdot x} = \sqrt[5]{(-2)^5} \cdot \sqrt[5]{x^5} \cdot \sqrt[5]{x} = -2x\sqrt[5]{x}$. Теперь упростим правую часть: $-2x\sqrt[5]{-x} = -2x\sqrt[5]{-1 \cdot x} = -2x \cdot \sqrt[5]{-1} \cdot \sqrt[5]{x} = -2x \cdot (-1) \cdot \sqrt[5]{x} = 2x\sqrt[5]{x}$. Сравнивая левую и правую части, получаем: $-2x\sqrt[5]{x} = 2x\sqrt[5]{x}$. Это равенство истинно только при $x=0$. В общем случае оно неверно. Ответ: неверно.

Корень четной степени (четвертой) определен, так как выражение под корнем $16(m-n)^4$ всегда неотрицательно. Используем свойство $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$. $\sqrt[4]{16(m-n)^4} = \sqrt[4]{2^4 \cdot (m-n)^4} = \sqrt[4]{(2(m-n))^4} = |2(m-n)| = |2| \cdot |m-n| = 2|m-n|$. Равенство верно. Ответ: верно.

Выражение под корнем четной степени $(-5)^8 a^{12} = 5^8 a^{12}$ всегда неотрицательно, так как $a^{12} = (a^6)^2 \ge 0$. Упростим левую часть: $\sqrt[8]{(-5)^8 a^{12}} = \sqrt[8]{(-5)^8} \cdot \sqrt[8]{a^{12}} = |-5| \cdot \sqrt[8]{a^{12}} = 5\sqrt[8]{a^{12}}$. Представим $\sqrt[8]{a^{12}}$ как $\sqrt[8]{(a^2)^6}$, что равно $\sqrt[4]{(a^2)^3}$ или $\sqrt[4]{a^6}$. Далее, $\sqrt[4]{a^6} = \sqrt{\sqrt{a^6}} = \sqrt{|a^3|} = \sqrt{|a^2 \cdot a|} = \sqrt{a^2 \cdot |a|} = \sqrt{a^2}\sqrt{|a|} = |a|\sqrt{|a|}$. Таким образом, левая часть равна $5|a|\sqrt{|a|}$. Равенство верно. Ответ: верно.

Для существования корня четной степени (шестой) подкоренное выражение должно быть неотрицательным. В левой части: $-64y^7 \ge 0 \implies y^7 \le 0 \implies y \le 0$. В правой части: $-y \ge 0 \implies y \le 0$. Области определения совпадают. Упростим левую часть при $y \le 0$: $\sqrt[6]{-64y^7} = \sqrt[6]{64 \cdot (-y^7)} = \sqrt[6]{2^6 \cdot (-y)^6 \cdot (-y)}$. Поскольку $y \le 0$, то $-y \ge 0$. Используя свойство $\sqrt[n]{a^n b} = a\sqrt[n]{b}$ для $a \ge 0$, получаем: $\sqrt[6]{2^6 \cdot (-y)^6 \cdot (-y)} = 2(-y)\sqrt[6]{-y} = -2y\sqrt[6]{-y}$. В качестве альтернативы, можно применить свойство $|ab|=|a||b|$ и $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$: $\sqrt[6]{-64y^7} = \sqrt[6]{(2y)^6 \cdot (-y)} = |2y|\sqrt[6]{-y}$. Так как $y \le 0$, то $|2y| = -2y$. Таким образом, левая часть равна $-2y\sqrt[6]{-y}$. Равенство верно. Ответ: верно.

Таким образом, единственным неверным равенством является равенство из пункта б).