Номер 19.16, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.16. Постройте график функции:

а) $y = \sqrt[4]{(x-3)^4} + x$ при $x \geq 3$;

б) $y = -x\sqrt[8]{(x+1)^8}$ при $x \leq -1$.

а) Ответ: Для построения графика функции $y = \sqrt[4]{(x-3)^4} + x$ при $x \ge 3$ сначала упростим выражение.
Согласно свойству корня четной степени, $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В нашем случае степень корня и подкоренного выражения равна 4 (четное число), поэтому:
$\sqrt[4]{(x-3)^4} = |x-3|$.
Функция принимает вид: $y = |x-3| + x$.
По условию задачи, мы рассматриваем функцию на промежутке $x \ge 3$. На этом промежутке выражение под знаком модуля $x-3$ является неотрицательным ($x-3 \ge 0$), следовательно, $|x-3| = x-3$.
Подставим это в уравнение функции:
$y = (x-3) + x = 2x-3$.
Таким образом, необходимо построить график линейной функции $y = 2x-3$ для $x \ge 3$. Графиком является луч.
Найдем координаты начальной точки луча, подставив $x=3$:
$y(3) = 2 \cdot 3 - 3 = 6-3=3$.
Начальная точка луча — $(3, 3)$.
Для построения луча найдем еще одну точку, взяв любое значение $x > 3$, например, $x=4$:
$y(4) = 2 \cdot 4 - 3 = 8-3=5$.
Вторая точка — $(4, 5)$.
Графиком заданной функции является луч, выходящий из точки $(3, 3)$ и проходящий через точку $(4, 5)$.

б) Ответ: Для построения графика функции $y = -x\sqrt[8]{(x+1)^8}$ при $x \le -1$ сначала упростим выражение.
Так как степень корня 8 — четное число, то $\sqrt[8]{(x+1)^8} = |x+1|$.
Функция принимает вид: $y = -x|x+1|$.
По условию задачи, мы рассматриваем функцию на промежутке $x \le -1$. На этом промежутке выражение под знаком модуля $x+1$ является неположительным ($x+1 \le 0$), следовательно, $|x+1| = -(x+1)$.
Подставим это в уравнение функции:
$y = -x(-(x+1)) = x(x+1) = x^2+x$.
Таким образом, необходимо построить график квадратичной функции $y = x^2+x$ для $x \le -1$. Графиком функции $y=x^2+x$ является парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдем координаты вершины параболы:
$x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{2 \cdot 1} = -0.5$.
$y_в = (-0.5)^2 + (-0.5) = 0.25 - 0.5 = -0.25$.
Вершина параболы — точка $(-0.5, -0.25)$.
Так как мы строим график для $x \le -1$, вершина параболы не входит в искомую часть графика. Нам нужна левая ветвь параболы.
Найдем значение функции на границе промежутка, при $x=-1$:
$y(-1) = (-1)^2 + (-1) = 1-1=0$.
Конечная точка графика — $(-1, 0)$.
Найдем еще одну точку, взяв $x < -1$, например, $x=-2$:
$y(-2) = (-2)^2 + (-2) = 4-2=2$.
График проходит через точку $(-2, 2)$.
Графиком заданной функции является часть параболы $y=x^2+x$, начинающаяся в точке $(-1, 0)$ и уходящая влево и вверх, проходя через точку $(-2, 2)$.