Номер 19.12, страница 101 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.12. Найдите значение выражения $\sqrt{25a^2} + \sqrt[3]{64a^3} - \sqrt[4]{16a^4} - \sqrt[6]{676}$ при $a = \sqrt[3]{26} - 3$.

Для того чтобы найти значение выражения, сначала упростим его, используя свойства корней.

Исходное выражение: $ \sqrt{25a^2} + \sqrt[3]{64a^3} - \sqrt[4]{16a^4} - \sqrt[6]{676} $.

Упростим каждый член выражения по отдельности:

1. $ \sqrt{25a^2} = \sqrt{(5a)^2} $. Так как квадратный корень является корнем четной степени, при извлечении корня из квадрата переменной необходимо использовать модуль: $ |5a| = 5|a| $.

2. $ \sqrt[3]{64a^3} = \sqrt[3]{(4a)^3} $. Кубический корень — корень нечетной степени, поэтому модуль не нужен: $ 4a $.

3. $ \sqrt[4]{16a^4} = \sqrt[4]{(2a)^4} $. Корень четвертой степени — четный, поэтому снова используем модуль: $ |2a| = 2|a| $.

4. $ \sqrt[6]{676} $. Заметим, что $ 676 = 26^2 $. Тогда $ \sqrt[6]{26^2} = 26^{\frac{2}{6}} = 26^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{26} $.

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение: $ 5|a| + 4a - 2|a| - \sqrt[3]{26} $.

Приведем подобные слагаемые: $ (5|a| - 2|a|) + 4a - \sqrt[3]{26} = 3|a| + 4a - \sqrt[3]{26} $.

Далее, чтобы раскрыть модуль, нам нужно определить знак переменной $a$. По условию $ a = \sqrt[3]{26} - 3 $. Сравним $ \sqrt[3]{26} $ и $3$. Для этого можно возвести оба числа в третью степень: $ (\sqrt[3]{26})^3 = 26 $ $ 3^3 = 27 $

Так как $ 26 < 27 $, то и $ \sqrt[3]{26} < \sqrt[3]{27} $, следовательно, $ \sqrt[3]{26} < 3 $. Это означает, что разность $ \sqrt[3]{26} - 3 $ является отрицательным числом, то есть $ a < 0 $.

Поскольку $ a < 0 $, по определению модуля $ |a| = -a $. Подставим $ -a $ вместо $ |a| $ в наше упрощенное выражение: $ 3(-a) + 4a - \sqrt[3]{26} = -3a + 4a - \sqrt[3]{26} = a - \sqrt[3]{26} $.

На последнем шаге подставим значение $ a = \sqrt[3]{26} - 3 $ в полученное выражение: $ (\sqrt[3]{26} - 3) - \sqrt[3]{26} = \sqrt[3]{26} - 3 - \sqrt[3]{26} = -3 $.

19.12. Ответ: -3.