Номер 19.8, страница 101 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.8. Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

а) $\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[6]{5}$;

б) $\sqrt[9]{-7} \cdot \sqrt[18]{49}$;

в) $\sqrt{10} \cdot \sqrt[6]{10} \cdot \sqrt[12]{10}$;

г) $\frac{\sqrt[8]{27^3} \cdot \sqrt[20]{27}}{\sqrt[5]{27^4}}$.

а) Чтобы определить, является ли значение выражения $ \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[6]{5} $ рациональным или иррациональным, упростим его. Представим корни в виде степеней с рациональными показателями, используя свойство $ \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} $.

$ \sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}} $ и $ \sqrt[6]{5} = 5^{\frac{1}{6}} $.

Тогда произведение примет вид: $ 5^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{6}} $.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $ 5^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = 5^{\frac{2}{6} + \frac{1}{6}} = 5^{\frac{3}{6}} = 5^{\frac{1}{2}} $.

Выражение $ 5^{\frac{1}{2}} $ равно $ \sqrt{5} $. Так как 5 не является полным квадратом целого числа, $ \sqrt{5} $ — иррациональное число.

Ответ: иррациональное число.

б) Упростим выражение $ \sqrt[9]{-7} \cdot \sqrt[18]{49} $.

Приведем корни к одному показателю. Заметим, что $ 49 = 7^2 $. Тогда $ \sqrt[18]{49} = \sqrt[18]{7^2} $. Используя свойство $ \sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m} $, получим: $ \sqrt[18]{7^2} = \sqrt[9 \cdot 2]{7^{1 \cdot 2}} = \sqrt[9]{7} $.

Теперь выражение выглядит так: $ \sqrt[9]{-7} \cdot \sqrt[9]{7} $.

Воспользуемся свойством произведения корней $ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} $: $ \sqrt[9]{(-7) \cdot 7} = \sqrt[9]{-49} $.

Так как корень нечетной степени из отрицательного числа можно представить как $ \sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a} $, то $ \sqrt[9]{-49} = -\sqrt[9]{49} $. Поскольку 49 не является девятой степенью целого числа, то полученное значение является иррациональным числом.

Ответ: иррациональное число.

в) Рассмотрим выражение $ \sqrt{10} \cdot \sqrt[6]{10} \cdot \sqrt[12]{10} $.

Представим все множители в виде степеней с основанием 10: $ 10^{\frac{1}{2}} \cdot 10^{\frac{1}{6}} \cdot 10^{\frac{1}{12}} $.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $ 10^{\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12}} $. Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 12: $ \frac{6}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} $.

Результат равен $ 10^{\frac{3}{4}} $, что можно записать как $ \sqrt[4]{10^3} $ или $ \sqrt[4]{1000} $. Это иррациональное число, поскольку 1000 не является четвертой степенью целого числа.

Ответ: иррациональное число.

г) Упростим выражение $ \frac{\sqrt[8]{27^3} \cdot \sqrt[20]{\sqrt{27}}}{\sqrt[5]{27^4}} $.

Представим все члены выражения в виде степеней с основанием 27.

Числитель: $ \sqrt[8]{27^3} = 27^{\frac{3}{8}} $ и $ \sqrt[20]{\sqrt{27}} = \sqrt[20]{27^{\frac{1}{2}}} = (27^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{20}} = 27^{\frac{1}{40}} $.

Знаменатель: $ \sqrt[5]{27^4} = 27^{\frac{4}{5}} $.

Таким образом, выражение равно $ \frac{27^{\frac{3}{8}} \cdot 27^{\frac{1}{40}}}{27^{\frac{4}{5}}} = 27^{\frac{3}{8} + \frac{1}{40} - \frac{4}{5}} $.

Вычислим показатель степени, приведя дроби к общему знаменателю 40: $ \frac{3 \cdot 5}{40} + \frac{1}{40} - \frac{4 \cdot 8}{40} = \frac{15+1-32}{40} = \frac{16-32}{40} = \frac{-16}{40} = -\frac{2}{5} $.

Получили $ 27^{-\frac{2}{5}} $. Так как $ 27 = 3^3 $, то $ (3^3)^{-\frac{2}{5}} = 3^{-\frac{6}{5}} $. Это число является иррациональным, так как оно не может быть представлено в виде дроби $ p/q $, где $ p $ и $ q $ — целые числа.

Ответ: иррациональное число.