Номер 19.10, страница 101 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.10. Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения

$ \sqrt[8]{(-11)^8} + \sqrt[7]{5 - \sqrt{26}} \cdot \sqrt[7]{5 + \sqrt{26}} - \sqrt[4]{16 \frac{1}{16} : \sqrt[8]{257^2}} + \sqrt[3]{25 \cdot 135}. $

Для того чтобы определить, является ли значение выражения рациональным или иррациональным, вычислим его значение, выполняя действия по частям.

Согласно свойству корня четной степени $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$, где показатель корня $2n$ является четным числом, получаем модуль подкоренного выражения: $\sqrt[8]{(-11)^8} = |-11| = 11$. Ответ: 11.

Используем свойство произведения корней с одинаковым показателем $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ и формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$:
$\sqrt[7]{(5-\sqrt{26})(5+\sqrt{26})} = \sqrt[7]{5^2 - (\sqrt{26})^2} = \sqrt[7]{25-26} = \sqrt[7]{-1}$.
Так как показатель корня (7) нечетный, корень из отрицательного числа равен отрицательному числу: $\sqrt[7]{-1} = -1$. Ответ: -1.

Сначала упростим каждый член выражения. Преобразуем смешанную дробь в неправильную: $16\frac{1}{16} = \frac{16 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{257}{16}$.
Первый радикал: $\sqrt[4]{16\frac{1}{16}} = \sqrt[4]{\frac{257}{16}} = \frac{\sqrt[4]{257}}{\sqrt[4]{16}} = \frac{\sqrt[4]{257}}{2}$.
Второй радикал, используя свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$: $\sqrt[8]{257^2} = \sqrt[4 \cdot 2]{257^{1 \cdot 2}} = \sqrt[4]{257}$.
Теперь выполним деление: $\frac{\sqrt[4]{257}}{2} : \sqrt[4]{257} = \frac{\sqrt[4]{257}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{257}} = \frac{1}{2}$. Ответ: $\frac{1}{2}$.

Разложим подкоренное выражение на множители для извлечения кубического корня: $25 \cdot 135 = 5^2 \cdot (5 \cdot 27) = 5^3 \cdot 3^3 = (5 \cdot 3)^3 = 15^3$.
Вычисляем корень: $\sqrt[3]{15^3} = 15$. Ответ: 15.

Подставим полученные значения в исходное выражение:
$11 + (-1) - \frac{1}{2} + 15 = 10 - \frac{1}{2} + 15 = 25 - \frac{1}{2} = 24\frac{1}{2}$.
Полученное число $24\frac{1}{2}$ можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{49}{2}$. Число является рациональным, если его можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Так как $24\frac{1}{2}$ удовлетворяет этому определению, оно является рациональным. Ответ: Значение выражения равно 24$\frac{1}{2}$, что является рациональным числом.