Номер 19.9, страница 101 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.9. Вычислите значение выражения:

а) $\sqrt[5]{-3^5} - \sqrt[5]{(-3)^5}$;

б) $\sqrt[4]{(-7)^4} - \sqrt[3]{(-7)^3}$;

в) $\sqrt[7]{-5^7} - \sqrt[8]{(-5)^8}$;

г) $\sqrt[3]{-10^3} + \sqrt[9]{(-10)^9} - \sqrt[4]{(-10)^4}$.

Для решения этих задач воспользуемся свойствами корней n-ной степени:

• Для любого нечетного числа $n = 2k+1$ и любого числа $a$ верно равенство: $\sqrt[n]{a^n} = a$.
• Для любого четного числа $n = 2k$ и любого числа $a$ верно равенство: $\sqrt[n]{a^n} = |a|$.

а) Вычислим значение выражения $\sqrt[5]{-3^5} - \sqrt[5]{(-3)^5}$.
Показатель корня $n=5$ является нечетным числом. Поэтому:
Первый член: $\sqrt[5]{-3^5} = \sqrt[5]{(-1) \cdot 3^5} = \sqrt[5]{(-3)^5} = -3$.
Второй член: $\sqrt[5]{(-3)^5} = -3$.
Подставляем полученные значения в исходное выражение:
$\sqrt[5]{-3^5} - \sqrt[5]{(-3)^5} = -3 - (-3) = -3 + 3 = 0$.
Ответ: 0

б) Вычислим значение выражения $\sqrt[4]{(-7)^4} - \sqrt[3]{(-7)^3}$.
Рассмотрим каждый член отдельно.
Первый член $\sqrt[4]{(-7)^4}$: показатель корня $n=4$ — четное число. Следовательно, $\sqrt[4]{(-7)^4} = |-7| = 7$.
Второй член $\sqrt[3]{(-7)^3}$: показатель корня $n=3$ — нечетное число. Следовательно, $\sqrt[3]{(-7)^3} = -7$.
Подставляем значения в выражение:
$\sqrt[4]{(-7)^4} - \sqrt[3]{(-7)^3} = 7 - (-7) = 7 + 7 = 14$.
Ответ: 14

в) Вычислим значение выражения $\sqrt[7]{-5^7} - \sqrt[8]{(-5)^8}$.
Рассмотрим каждый член отдельно.
Первый член $\sqrt[7]{-5^7}$: показатель корня $n=7$ — нечетное число. Следовательно, $\sqrt[7]{-5^7} = \sqrt[7]{(-5)^7} = -5$.
Второй член $\sqrt[8]{(-5)^8}$: показатель корня $n=8$ — четное число. Следовательно, $\sqrt[8]{(-5)^8} = |-5| = 5$.
Подставляем значения в выражение:
$\sqrt[7]{-5^7} - \sqrt[8]{(-5)^8} = -5 - 5 = -10$.
Ответ: -10

г) Вычислим значение выражения $\sqrt[3]{-10^3} + \sqrt[9]{(-10)^9} - \sqrt[4]{(-10)^4}$.
Рассмотрим каждый член отдельно.
Первый член $\sqrt[3]{-10^3}$: показатель корня $n=3$ — нечетное число. Следовательно, $\sqrt[3]{-10^3} = \sqrt[3]{(-10)^3} = -10$.
Второй член $\sqrt[9]{(-10)^9}$: показатель корня $n=9$ — нечетное число. Следовательно, $\sqrt[9]{(-10)^9} = -10$.
Третий член $\sqrt[4]{(-10)^4}$: показатель корня $n=4$ — четное число. Следовательно, $\sqrt[4]{(-10)^4} = |-10| = 10$.
Подставляем значения в выражение:
$\sqrt[3]{-10^3} + \sqrt[9]{(-10)^9} - \sqrt[4]{(-10)^4} = -10 + (-10) - 10 = -10 - 10 - 10 = -30$.
Ответ: -30