Номер 18.9, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

18.9. Найдите, при каких значениях числа a уравнение $3x^{12} = 2a - 1$:

а) имеет два корня;

б) имеет один корень;

в) не имеет корней.

Дано уравнение $3x^{12} = 2a - 1$.

Для анализа количества корней выразим $x^{12}$ из уравнения:

$x^{12} = \frac{2a - 1}{3}$

Левая часть уравнения, $x^{12}$, представляет собой переменную в четной степени. Значение выражения $x^{12}$ всегда неотрицательно (то есть $x^{12} \ge 0$) для любого действительного числа $x$. Следовательно, количество корней уравнения зависит от знака правой части, то есть от значения выражения $\frac{2a - 1}{3}$.

а) имеет два корня: Уравнение будет иметь два действительных корня ($x = \sqrt[12]{\frac{2a - 1}{3}}$ и $x = -\sqrt[12]{\frac{2a - 1}{3}}$), если правая часть уравнения строго больше нуля.
$\frac{2a - 1}{3} > 0$
Умножим обе части на 3:
$2a - 1 > 0$
$2a > 1$
$a > \frac{1}{2}$
Ответ: при $a > \frac{1}{2}$.

б) имеет один корень: Уравнение будет иметь один действительный корень ($x=0$), если правая часть уравнения равна нулю.
$\frac{2a - 1}{3} = 0$
Умножим обе части на 3:
$2a - 1 = 0$
$2a = 1$
$a = \frac{1}{2}$
Ответ: при $a = \frac{1}{2}$.

в) не имеет корней: Уравнение не будет иметь действительных корней, если правая часть уравнения отрицательна, так как, как было сказано выше, четная степень действительного числа не может быть отрицательной.
$\frac{2a - 1}{3} < 0$
Умножим обе части на 3:
$2a - 1 < 0$
$2a < 1$
$a < \frac{1}{2}$
Ответ: при $a < \frac{1}{2}$.