Номер 17.14, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.14. Найдите число решений уравнения

$ \sin 6x \cos 2x = \sin 5x \cos 3x - \sin 2x $

на промежутке $ \left[ -\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3} \right] $.

Для решения уравнения $ \sin(6x)\cos(2x) = \sin(5x)\cos(3x) - \sin(2x) $ воспользуемся тригонометрическими формулами для его упрощения.

Сначала применим формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: $ \sin(\alpha)\cos(\beta) = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $.
Для левой части уравнения: $ \sin(6x)\cos(2x) = \frac{1}{2}(\sin(6x+2x) + \sin(6x-2x)) = \frac{1}{2}(\sin(8x) + \sin(4x)) $.
Для правой части: $ \sin(5x)\cos(3x) = \frac{1}{2}(\sin(5x+3x) + \sin(5x-3x)) = \frac{1}{2}(\sin(8x) + \sin(2x)) $.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$ \frac{1}{2}(\sin(8x) + \sin(4x)) = \frac{1}{2}(\sin(8x) + \sin(2x)) - \sin(2x) $.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей, и приведем подобные слагаемые:
$ \sin(8x) + \sin(4x) = \sin(8x) + \sin(2x) - 2\sin(2x) $
$ \sin(8x) + \sin(4x) = \sin(8x) - \sin(2x) $.

Вычтем $ \sin(8x) $ из обеих частей и перенесем все члены в левую часть:
$ \sin(4x) + \sin(2x) = 0 $.

Теперь воспользуемся формулой суммы синусов $ \sin(\alpha) + \sin(\beta) = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ 2\sin\frac{4x+2x}{2}\cos\frac{4x-2x}{2} = 0 $
$ 2\sin(3x)\cos(x) = 0 $.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, уравнение распадается на совокупность двух уравнений:
1) $ \sin(3x) = 0 $
2) $ \cos(x) = 0 $

Далее найдем корни каждого уравнения, принадлежащие заданному промежутку $ [-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}] $.

1. Решение уравнения $ \sin(3x) = 0 $
Общее решение этого уравнения: $ 3x = k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Отсюда $ x = \frac{k\pi}{3} $.
Чтобы найти корни на промежутке $ [-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}] $, решим двойное неравенство:
$ -\frac{\pi}{3} \le \frac{k\pi}{3} \le \frac{\pi}{3} $
Разделив все части на $ \frac{\pi}{3} $, получим $ -1 \le k \le 1 $.
Поскольку $ k $ — целое число, подходящие значения: $ k \in \{-1, 0, 1\} $.
Это дает три корня: $ x_1 = -\frac{\pi}{3} $, $ x_2 = 0 $, $ x_3 = \frac{\pi}{3} $.

2. Решение уравнения $ \cos(x) = 0 $
Общее решение этого уравнения: $ x = \frac{\pi}{2} + n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Чтобы найти корни на промежутке $ [-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}] $, решим двойное неравенство:
$ -\frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2} + n\pi \le \frac{\pi}{3} $
Разделив все части на $ \pi $, получим $ -\frac{1}{3} \le \frac{1}{2} + n \le \frac{1}{3} $.
Вычтем $ \frac{1}{2} $ из всех частей: $ -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} \le n \le \frac{1}{3} - \frac{1}{2} $, что равносильно $ -\frac{5}{6} \le n \le -\frac{1}{6} $.
В этом диапазоне нет целых значений $ n $, поэтому на данном промежутке у этого уравнения решений нет.

Таким образом, исходное уравнение имеет 3 решения на заданном промежутке.

Найдите число решений уравнения $ \sin6x\cos2x = \sin5x\cos3x - \sin2x $ на промежутке $ [-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}] $: Ответ: 3.