Номер 17.7, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.7. Найдите значение выражения $\frac{1}{2\sin10^\circ} - 2\sin70^\circ$.

17.7. Для нахождения значения выражения выполним следующие преобразования. Сначала приведем выражение к общему знаменателю:
$\frac{1}{2\sin{10^\circ}} - 2\sin{70^\circ} = \frac{1 - 2\sin{70^\circ} \cdot 2\sin{10^\circ}}{2\sin{10^\circ}} = \frac{1 - 4\sin{70^\circ}\sin{10^\circ}}{2\sin{10^\circ}}$
Далее преобразуем произведение синусов в числителе, используя формулу произведения синусов: $2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)$.
$4\sin{70^\circ}\sin{10^\circ} = 2 \cdot (2\sin{70^\circ}\sin{10^\circ}) = 2(\cos(70^\circ - 10^\circ) - \cos(70^\circ + 10^\circ)) = 2(\cos{60^\circ} - \cos{80^\circ})$
Зная, что значение $\cos{60^\circ} = \frac{1}{2}$, подставляем его в выражение:
$2(\frac{1}{2} - \cos{80^\circ}) = 1 - 2\cos{80^\circ}$
Теперь подставим результат обратно в исходную дробь:
$\frac{1 - (1 - 2\cos{80^\circ})}{2\sin{10^\circ}} = \frac{1 - 1 + 2\cos{80^\circ}}{2\sin{10^\circ}} = \frac{2\cos{80^\circ}}{2\sin{10^\circ}} = \frac{\cos{80^\circ}}{\sin{10^\circ}}$
Воспользуемся формулой приведения $\cos\alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$:
$\cos{80^\circ} = \sin(90^\circ - 80^\circ) = \sin{10^\circ}$
Таким образом, получаем окончательный результат:
$\frac{\sin{10^\circ}}{\sin{10^\circ}} = 1$
Ответ: 1.