Номер 17.3, страница 95 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17.3. Докажите тождество:

а) $\frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha} = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)$;

б) $1 - \sin\alpha - \cos\alpha = 2\sqrt{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2}-45^{\circ}\right)$.

а) Для доказательства тождества $ \frac{\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha - \sin\alpha} = \text{tg}(\frac{\pi}{4} + \alpha) $ преобразуем его правую часть.

Используем формулу тангенса суммы $ \text{tg}(x+y) = \frac{\text{tg}x + \text{tg}y}{1 - \text{tg}x \cdot \text{tg}y} $:

$ \text{tg}(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} + \text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}\frac{\pi}{4} \cdot \text{tg}\alpha} $

Поскольку $ \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1 $, подставим это значение в выражение:

$ \frac{1 + \text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}\alpha} $

Теперь заменим тангенс на отношение синуса к косинусу $ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $:

$ \frac{1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1 - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} $

Чтобы упростить данную дробь, умножим ее числитель и знаменатель на $ \cos\alpha $ (при условии, что $ \cos\alpha \neq 0 $):

$ \frac{\cos\alpha(1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})}{\cos\alpha(1 - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})} = \frac{\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha - \sin\alpha} $

Полученное выражение идентично левой части исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $ 1 - \sin\alpha - \cos\alpha = 2\sqrt{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ) $ преобразуем его левую часть.

Сгруппируем слагаемые следующим образом: $ (1 - \cos\alpha) - \sin\alpha $.

Применим формулы половинного угла для тригонометрических функций:

$ 1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2} $

$ \sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $

Подставим эти выражения в левую часть:

$ 2\sin^2\frac{\alpha}{2} - 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $

Вынесем за скобки общий множитель $ 2\sin\frac{\alpha}{2} $:

$ 2\sin\frac{\alpha}{2}(\sin\frac{\alpha}{2} - \cos\frac{\alpha}{2}) $

Теперь преобразуем выражение в скобках $ (\sin\frac{\alpha}{2} - \cos\frac{\alpha}{2}) $, используя метод введения вспомогательного угла:

$ \sin\frac{\alpha}{2} - \cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{1^2+(-1)^2} \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\frac{\alpha}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\frac{\alpha}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\frac{\alpha}{2}) $

Поскольку $ \cos45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} $, мы можем переписать выражение как:

$ \sqrt{2}(\sin\frac{\alpha}{2}\cos45^\circ - \cos\frac{\alpha}{2}\sin45^\circ) $

Это выражение соответствует формуле синуса разности $ \sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $, где $ x = \frac{\alpha}{2} $ и $ y = 45^\circ $.

Следовательно, $ \sin\frac{\alpha}{2} - \cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{2}\sin(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ) $.

Подставим это обратно в наше основное выражение:

$ 2\sin\frac{\alpha}{2} \cdot [\sqrt{2}\sin(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ)] = 2\sqrt{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ) $

Полученное выражение идентично правой части исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.