Номер 16.20, страница 91 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16.20. Найдите число корней уравнения $\sin^4 x + \cos^4 x = \cos4x$ на промежутке $[-\pi; 1,5\pi]$.

Для решения уравнения $ \sin^4 x + \cos^4 x = \cos 4x $ преобразуем его левую часть. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $.

Возведем обе части тождества в квадрат:
$ (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = 1^2 $
$ \sin^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x = 1 $

Отсюда выразим сумму четвертых степеней синуса и косинуса:
$ \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x $

Далее используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $. Если возвести ее в квадрат, получим $ \sin^2 2x = 4\sin^2 x \cos^2 x $, из чего следует, что $ 2\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2}\sin^2 2x $.

Подставив это в наше выражение, получаем:
$ \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x $

Теперь применим формулу понижения степени $ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} $. В нашем случае $ \alpha = 2x $:
$ \sin^2 2x = \frac{1 - \cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1 - \cos 4x}{2} $

Следовательно, левая часть исходного уравнения тождественно равна:
$ 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos 4x}{2} \right) = 1 - \frac{1 - \cos 4x}{4} = \frac{4 - (1 - \cos 4x)}{4} = \frac{3 + \cos 4x}{4} $

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:
$ \frac{3 + \cos 4x}{4} = \cos 4x $

Решим полученное уравнение относительно $ \cos 4x $:
$ 3 + \cos 4x = 4\cos 4x $
$ 3\cos 4x = 3 $
$ \cos 4x = 1 $

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его общее решение:
$ 4x = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $ (целое число).
$ x = \frac{2\pi k}{4} = \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь необходимо найти количество корней, принадлежащих заданному промежутку $ [-\pi, 1.5\pi] $, то есть $ [-\pi, \frac{3\pi}{2}] $. Для этого отберем корни, решив двойное неравенство:
$ -\pi \le \frac{\pi k}{2} \le \frac{3\pi}{2} $

Разделим все части неравенства на положительное число $ \pi $:
$ -1 \le \frac{k}{2} \le \frac{3}{2} $

Умножим все части неравенства на 2:
$ -2 \le k \le 3 $

Поскольку $ k $ — целое число, его возможными значениями являются: -2, -1, 0, 1, 2, 3.
Каждому целому значению $ k $ из этого диапазона соответствует один корень уравнения на заданном промежутке:
при $ k = -2 \implies x = \frac{\pi(-2)}{2} = -\pi $
при $ k = -1 \implies x = \frac{\pi(-1)}{2} = -\frac{\pi}{2} $
при $ k = 0 \implies x = \frac{\pi(0)}{2} = 0 $
при $ k = 1 \implies x = \frac{\pi(1)}{2} = \frac{\pi}{2} $
при $ k = 2 \implies x = \frac{\pi(2)}{2} = \pi $
при $ k = 3 \implies x = \frac{\pi(3)}{2} = \frac{3\pi}{2} = 1.5\pi $
Всего найдено 6 различных корней.

Ответ: 6