Номер 16.15, страница 91 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16.15. Вычислите: $64 \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ$.

Для вычисления значения выражения $64 \cos20^\circ \cos40^\circ \cos60^\circ \cos80^\circ$ воспользуемся известными тригонометрическими тождествами.

Сначала подставим табличное значение $\cos60^\circ = \frac{1}{2}$:

$64 \cos20^\circ \cos40^\circ \cos60^\circ \cos80^\circ = 64 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos20^\circ \cos40^\circ \cos80^\circ = 32 \cos20^\circ \cos40^\circ \cos80^\circ$.

Теперь рассмотрим произведение $P = \cos20^\circ \cos40^\circ \cos80^\circ$. Для его вычисления умножим и разделим выражение на $2\sin20^\circ$ и последовательно применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$P = \frac{(2\sin20^\circ\cos20^\circ)\cos40^\circ\cos80^\circ}{2\sin20^\circ} = \frac{\sin40^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ}{2\sin20^\circ}$

Повторим этот шаг, домножив числитель и знаменатель на 2:

$P = \frac{2\sin40^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ}{2 \cdot 2\sin20^\circ} = \frac{\sin80^\circ\cos80^\circ}{4\sin20^\circ}$

И еще раз:

$P = \frac{2\sin80^\circ\cos80^\circ}{2 \cdot 4\sin20^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 80^\circ)}{8\sin20^\circ} = \frac{\sin160^\circ}{8\sin20^\circ}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, находим, что $\sin160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin20^\circ$.

Тогда произведение $P$ равно:

$P = \frac{\sin20^\circ}{8\sin20^\circ} = \frac{1}{8}$

Подставляем найденное значение $P$ в упрощенное вначале выражение:

$32 \cdot P = 32 \cdot \frac{1}{8} = 4$.

16.15. Ответ: 4