Номер 16.22, страница 91 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16.22. Решите уравнение $cos(2x - \frac{\pi}{3}) - sin x = \frac{1}{2}$

Преобразуем исходное уравнение $\cos(2x - \frac{\pi}{3}) - \sin x = \frac{1}{2}$.

Используя формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$, получаем:

$\cos(2x)\cos(\frac{\pi}{3}) + \sin(2x)\sin(\frac{\pi}{3}) - \sin x = \frac{1}{2}$

Подставим известные значения тригонометрических функций $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x) - \sin x = \frac{1}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$\cos(2x) + \sqrt{3}\sin(2x) - 2\sin x = 1$

Применим формулы двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$ и $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:

$(1 - 2\sin^2 x) + \sqrt{3}(2\sin x \cos x) - 2\sin x = 1$

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых уравнение принимает вид:

$1 - 2\sin^2 x + 2\sqrt{3}\sin x \cos x - 2\sin x - 1 = 0$

$-2\sin^2 x + 2\sqrt{3}\sin x \cos x - 2\sin x = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $-2\sin x$:

$-2\sin x (\sin x - \sqrt{3}\cos x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $\sin x = 0$

2) $\sin x - \sqrt{3}\cos x + 1 = 0$

Решением первого уравнения $\sin x = 0$ является серия корней $x = \pi k$, где $k \in Z$.

Второе уравнение преобразуем к виду $\sin x - \sqrt{3}\cos x = -1$. Это линейное тригонометрическое уравнение, которое решается методом введения вспомогательного угла. Разделим обе части на $\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$:

$\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = -\frac{1}{2}$

Левую часть можно свернуть по формуле синуса разности $\sin(\alpha - \beta)$, где $\cos\beta = \frac{1}{2}$ и $\sin\beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то есть $\beta=\frac{\pi}{3}$:

$\sin x \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

$\sin(x - \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

Из этого уравнения получаем две серии решений:

$x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

$x - \frac{\pi}{3} = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi m = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m \quad \Rightarrow \quad x = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi m = \frac{9\pi}{6} + 2\pi m = \frac{3\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in Z$.

Ответ: $x = \pi k$; $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$; $x = \textbf{1}\frac{1}{2}\pi + 2\pi m$, где $k, n, m \in Z$.