Номер 16.21, страница 91 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16.21. Докажите, что если $ \cos(\alpha + \beta) = 0 $, то $ \sin(\alpha + 2\beta) = \sin\alpha $.

16.21. Ответ:

Для доказательства данного утверждения мы преобразуем выражение $sin(\alpha + 2\beta)$, используя известные тригонометрические тождества и условие $cos(\alpha + \beta) = 0$. Существует несколько способов доказательства, приведем один из самых коротких.

Рассмотрим разность левой и правой частей доказываемого равенства: $sin(\alpha + 2\beta) - sin(\alpha)$. Если мы покажем, что эта разность равна нулю, тождество будет доказано.

Для преобразования этой разности применим формулу разности синусов:

$sin(x) - sin(y) = 2sin(\frac{x-y}{2})cos(\frac{x+y}{2})$

В нашем случае пусть $x = \alpha + 2\beta$ и $y = \alpha$. Подставим их в формулу:

$sin(\alpha + 2\beta) - sin(\alpha) = 2sin(\frac{(\alpha + 2\beta) - \alpha}{2})cos(\frac{(\alpha + 2\beta) + \alpha}{2})$

Теперь упростим аргументы тригонометрических функций:

$2sin(\frac{2\beta}{2})cos(\frac{2\alpha + 2\beta}{2}) = 2sin(\beta)cos(\frac{2(\alpha + \beta)}{2}) = 2sin(\beta)cos(\alpha + \beta)$

По условию задачи нам дано, что $cos(\alpha + \beta) = 0$. Подставим это значение в полученное выражение:

$2sin(\beta)cos(\alpha + \beta) = 2sin(\beta) \cdot 0 = 0$

Таким образом, мы доказали, что $sin(\alpha + 2\beta) - sin(\alpha) = 0$.

Следовательно, $sin(\alpha + 2\beta) = sin(\alpha)$. Что и требовалось доказать.