Номер 16.14, страница 91 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16.14. Найдите наименьший положительный период функции:

а) $y = \sin(-2x)\cos(2x);$

б) $y = 6\sin\frac{x}{8} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{8}\right);$

в) $y = \sin^2 4x - \sin^2\left(\frac{3\pi}{2} - 4x\right);$

г) $y = \sin^2\left(3x - \frac{\pi}{6}\right) - \cos^2\left(\frac{\pi}{6} - 3x\right);$

д) $y = \cos\frac{x}{12} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{x}{12}\right);$

е) $y = \cos^2 5x - \cos^2\left(\frac{3\pi}{2} + 5x\right).$

Исходная функция: $y = \sin(-2x)\cos(2x)$.
Используем свойство нечетности функции синус $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$:$y = -\sin(2x)\cos(2x)$.
Далее применяем формулу синуса двойного угла $2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$, из которой следует, что $\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$:$y = -\frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2x) = -\frac{1}{2}\sin(4x)$.
Функция приведена к виду $y = A\sin(kx)$, где коэффициент $k=4$. Наименьший положительный период для функции $\sin(x)$ равен $2\pi$. Следовательно, период для данной функции равен $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

Исходная функция: $y = 6\sin\frac{x}{8} \cdot \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{8})$.
Используем формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha)$:$y = 6\sin\frac{x}{8} \cos\frac{x}{8}$.
Применяем формулу синуса двойного угла $2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$:$y = 3 \cdot (2\sin\frac{x}{8} \cos\frac{x}{8}) = 3\sin(2 \cdot \frac{x}{8}) = 3\sin(\frac{x}{4})$.
Функция приведена к виду $y = A\sin(kx)$, где $k=\frac{1}{4}$. Период равен $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{1/4} = 8\pi$.
Ответ: $\textbf{8}\pi$.

Исходная функция: $y = \sin^2(4x) - \sin^2(\frac{3\pi}{2} - 4x)$.
Используем формулу приведения $\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Так как синус возведен в квадрат, знак минус не повлияет на результат:$\sin^2(\frac{3\pi}{2} - 4x) = (-\cos(4x))^2 = \cos^2(4x)$.
Подставляем полученное выражение в исходную функцию:$y = \sin^2(4x) - \cos^2(4x)$.
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$:$y = -(\cos^2(4x) - \sin^2(4x)) = -\cos(2 \cdot 4x) = -\cos(8x)$.
Функция приведена к виду $y = A\cos(kx)$, где $k=8$. Период равен $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

Исходная функция: $y = \sin^2(3x - \frac{\pi}{6}) - \cos^2(\frac{\pi}{6} - 3x)$.
Используем свойство четности функции косинус $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$:$\cos^2(\frac{\pi}{6} - 3x) = \cos^2(-(3x - \frac{\pi}{6})) = \cos^2(3x - \frac{\pi}{6})$.
Подставляем в исходное выражение:$y = \sin^2(3x - \frac{\pi}{6}) - \cos^2(3x - \frac{\pi}{6})$.
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$:$y = -(\cos^2(3x - \frac{\pi}{6}) - \sin^2(3x - \frac{\pi}{6})) = -\cos(2(3x - \frac{\pi}{6})) = -\cos(6x - \frac{\pi}{3})$.
Функция приведена к виду $y = A\cos(kx+\phi)$, где $k=6$. Период равен $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

Исходная функция: $y = \cos\frac{x}{12} \cdot \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{x}{12})$.
Используем формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha)$:$y = \cos\frac{x}{12} \cdot (-\sin\frac{x}{12}) = -\sin\frac{x}{12}\cos\frac{x}{12}$.
Применяем формулу синуса двойного угла $\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$:$y = -\frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{x}{12}) = -\frac{1}{2}\sin(\frac{x}{6})$.
Функция приведена к виду $y = A\sin(kx)$, где $k=\frac{1}{6}$. Период равен $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{1/6} = 12\pi$.
Ответ: $\textbf{12}\pi$.

Исходная функция: $y = \cos^2(5x) - \cos^2(\frac{3\pi}{2} + 5x)$.
Используем формулу приведения $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha)$:$\cos^2(\frac{3\pi}{2} + 5x) = (\sin(5x))^2 = \sin^2(5x)$.
Подставляем в исходное выражение:$y = \cos^2(5x) - \sin^2(5x)$.
Применяем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$:$y = \cos(2 \cdot 5x) = \cos(10x)$.
Функция приведена к виду $y = A\cos(kx)$, где $k=10$. Период равен $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}$.
Ответ: $\frac{\pi}{5}$.