Номер 16.8, страница 91 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16.8. Упростите выражение $\frac{4\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\mathrm{sin}^{2}\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)}{1-2\mathrm{cos}^{2}\alpha}$.

16.8. Для упрощения данного выражения преобразуем его числитель и знаменатель по отдельности.

Начнем со знаменателя: $1 - 2\cos^2\alpha$. Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$, мы можем переписать знаменатель как:
$1 - 2\cos^2\alpha = -(2\cos^2\alpha - 1) = -\cos(2\alpha)$.

Теперь преобразуем числитель: $4\tg(\frac{\pi}{4}-\alpha)\sin^2(\frac{\pi}{4}+\alpha)$.
Воспользуемся формулой приведения $\sin(\frac{\pi}{4}+\alpha) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)$.
Подставив это в числитель, получим:
$4\tg(\frac{\pi}{4}-\alpha)\cos^2(\frac{\pi}{4}-\alpha)$.
Заменим тангенс на отношение синуса к косинусу: $\tg(\frac{\pi}{4}-\alpha) = \frac{\sin(\frac{\pi}{4}-\alpha)}{\cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)}$.
Выражение для числителя примет вид:
$4 \cdot \frac{\sin(\frac{\pi}{4}-\alpha)}{\cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)} \cdot \cos^2(\frac{\pi}{4}-\alpha) = 4\sin(\frac{\pi}{4}-\alpha)\cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)$.
Это выражение можно упростить с помощью формулы синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:
$2 \cdot \left(2\sin(\frac{\pi}{4}-\alpha)\cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)\right) = 2\sin\left(2\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}-2\alpha\right)$.
Применив еще одну формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2}-y) = \cos y$, получаем окончательное выражение для числителя: $2\cos(2\alpha)$.

Наконец, подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$\frac{2\cos(2\alpha)}{-\cos(2\alpha)} = -2$.

Ответ: -2