Номер 16.6, страница 90 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16.6. Вычислите:

$\sin^2\left(\frac{1}{2}\arcsin 0.7\right) - \cos^2\left(\frac{1}{2}\arcsin 0.7\right).$

16.6. Для вычисления значения данного выражения воспользуемся тригонометрической формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) $.

Исходное выражение $ \sin^2\left(\frac{1}{2}\arcsin 0,7\right) - \cos^2\left(\frac{1}{2}\arcsin 0,7\right) $ можно переписать, вынеся за скобки $ -1 $:

$ -\left(\cos^2\left(\frac{1}{2}\arcsin 0,7\right) - \sin^2\left(\frac{1}{2}\arcsin 0,7\right)\right) $

Пусть $ \alpha = \frac{1}{2}\arcsin 0,7 $. Тогда выражение в скобках соответствует правой части формулы косинуса двойного угла. Применяя формулу, получаем:

$ -\cos(2\alpha) = -\cos\left(2 \cdot \frac{1}{2}\arcsin 0,7\right) = -\cos(\arcsin 0,7) $

Далее найдем значение $ \cos(\arcsin 0,7) $. Используем для этого основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(y) + \cos^2(y) = 1 $. Пусть $ y = \arcsin 0,7 $. Из определения арксинуса следует, что $ \sin(y) = 0,7 $ и $ y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $. Для любого угла $ y $ из этого промежутка значение косинуса неотрицательно, то есть $ \cos(y) \ge 0 $.

Выразим косинус из тождества:

$ \cos(y) = \sqrt{1 - \sin^2(y)} $

Подставим известное значение $ \sin(y) = 0,7 $:

$ \cos(\arcsin 0,7) = \sqrt{1 - (0,7)^2} = \sqrt{1 - 0,49} = \sqrt{0,51} $

Таким образом, значение исходного выражения равно $ -\sqrt{0,51} $. Ответ: $ -\sqrt{0,51} $.