Номер 15.23, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15.23. Найдите наименьший положительный корень уравнения

$\sqrt{2} \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) - \sin x = |\cos x|$

Сначала преобразуем левую часть уравнения $\sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) - \sin x = |\cos x|$, используя формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$:
$\sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}(\cos x \cos\frac{\pi}{4} - \sin x \sin\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}(\cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = \cos x - \sin x$.

После подстановки в исходное уравнение получаем:
$(\cos x - \sin x) - \sin x = |\cos x|$
$\cos x - 2\sin x = |\cos x|$.

Для решения уравнения с модулем необходимо рассмотреть два случая в зависимости от знака $\cos x$.

1. Если $\cos x \ge 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Уравнение принимает вид:
$\cos x - 2\sin x = \cos x$
$-2\sin x = 0$, откуда $\sin x = 0$.
Общее решение $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Из этих решений условию $\cos x \ge 0$ удовлетворяют только те, для которых $n$ — четное число. Таким образом, первая серия решений: $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Уравнение принимает вид:
$\cos x - 2\sin x = -\cos x$
$2\cos x - 2\sin x = 0$, или $\cos x = \sin x$.
Так как $\cos x < 0$, можно разделить обе части на $\cos x$, получив $\tan x = 1$.
Общее решение $x = \frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Из этих решений условию $\cos x < 0$ удовлетворяют только те, для которых $x$ находится в третьей координатной четверти, что соответствует нечетным $m$.
Таким образом, вторая серия решений: $x = \frac{\pi}{4} + (2k+1)\pi = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Общее решение исходного уравнения является объединением двух серий корней: $x = 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.
Для нахождения наименьшего положительного корня рассмотрим положительные решения из каждой серии.
Из серии $x = 2\pi k$ наименьший положительный корень равен $2\pi$ (при $k=1$).
Из серии $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$ наименьший положительный корень равен $\frac{5\pi}{4}$ (при $k=0$).
Сравнивая $2\pi$ и $\frac{5\pi}{4}$, заключаем, что наименьший положительный корень равен $\frac{5\pi}{4}$.

Ответ: $\mathbf{1}\frac{1}{4}\pi$