Номер 16.1, страница 90 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16.1. Найдите значение выражения:

a) $\cos^4 22.5^\circ - \sin^4 22.5^\circ$;

б) $4\sin 37^\circ 30' \cos 37^\circ 30' \sin 15^\circ$;

в) $\sin 7^\circ 30' \cos 7^\circ 30' \sin 75^\circ$.

а) Для упрощения выражения $cos^4 22,5^\circ - sin^4 22,5^\circ$ воспользуемся формулой разности квадратов $a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$. Получим: $(cos^2 22,5^\circ - sin^2 22,5^\circ)(cos^2 22,5^\circ + sin^2 22,5^\circ)$. Первый множитель, согласно формуле косинуса двойного угла $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$, равен $cos(2 \cdot 22,5^\circ) = cos(45^\circ)$. Второй множитель, согласно основному тригонометрическому тождеству $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, равен $1$. Таким образом, результат произведения равен $cos(45^\circ) \cdot 1 = cos(45^\circ)$. Табличное значение $cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Рассмотрим выражение $4\sin37^\circ30'\cos37^\circ30'\sin15^\circ$. Сначала преобразуем угол в десятичные градусы: $37^\circ30' = 37,5^\circ$. Используем формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Выражение $4\sin37,5^\circ\cos37,5^\circ$ можно записать как $2 \cdot (2\sin37,5^\circ\cos37,5^\circ)$. Применив формулу, получим $2 \cdot \sin(2 \cdot 37,5^\circ) = 2\sin(75^\circ)$. Исходное выражение принимает вид: $2\sin75^\circ\sin15^\circ$. Теперь воспользуемся формулой приведения: $\sin75^\circ = \sin(90^\circ - 15^\circ) = \cos15^\circ$. Подставим это в наше выражение: $2\cos15^\circ\sin15^\circ$. Снова применяем формулу синуса двойного угла: $2\sin15^\circ\cos15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin(30^\circ)$. Табличное значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) Рассмотрим выражение $\sin7^\circ30'\cos7^\circ30'\sin75^\circ$. Преобразуем угол в десятичные градусы: $7^\circ30' = 7,5^\circ$. Используем формулу синуса двойного угла в виде $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$. Для произведения $\sin7,5^\circ\cos7,5^\circ$ получаем: $\frac{1}{2}\sin(2 \cdot 7,5^\circ) = \frac{1}{2}\sin(15^\circ)$. Исходное выражение принимает вид: $\frac{1}{2}\sin15^\circ\sin75^\circ$. Далее, используем формулу приведения $\sin75^\circ = \sin(90^\circ - 15^\circ) = \cos15^\circ$. Выражение становится равным $\frac{1}{2}\sin15^\circ\cos15^\circ$. Ещё раз применяем формулу $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$ для угла $15^\circ$: $\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}\sin(2 \cdot 15^\circ)) = \frac{1}{4}\sin(30^\circ)$. Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, окончательный результат равен $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.