Номер 15.17, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15.17. Найдите число корней уравнения $\sin 2x - \cos 2x = \sqrt{2}$ на промежутке $[0; 2\pi]$.

Исходное уравнение $ \sin2x - \cos2x = \sqrt{2} $ является линейным тригонометрическим уравнением вида $ a \sin(u) + b \cos(u) = c $. Для его решения применим метод введения вспомогательного угла.

Разделим обе части уравнения на $ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $:
$ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin{2x} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos{2x} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} $
$ \frac{\sqrt{2}}{2} \sin{2x} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos{2x} = 1 $

Используя значения $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, перепишем уравнение:
$ \sin{2x} \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos{2x} \sin(\frac{\pi}{4}) = 1 $

Применив формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $, где $ \alpha=2x $ и $ \beta=\frac{\pi}{4} $, получим:
$ \sin(2x - \frac{\pi}{4}) = 1 $

Решение этого простейшего тригонометрического уравнения имеет вид:
$ 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Теперь выразим $ x $:
$ 2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $
$ x = \frac{3\pi}{8} + \pi k $

Найдем количество корней, принадлежащих промежутку $ [0; 2\pi] $. Для этого решим двойное неравенство относительно $ k $:
$ 0 \le \frac{3\pi}{8} + \pi k \le 2\pi $
Разделим все части неравенства на $ \pi $:
$ 0 \le \frac{3}{8} + k \le 2 $
Вычтем $ \frac{3}{8} $ из всех частей:
$ -\frac{3}{8} \le k \le 2 - \frac{3}{8} $
$ -0.375 \le k \le \frac{13}{8} $
$ -0.375 \le k \le 1.625 $

Данному неравенству удовлетворяют два целых значения $ k $: $ k=0 $ и $ k=1 $.
При $ k=0 $ корень равен $ x_1 = \frac{3\pi}{8} $.
При $ k=1 $ корень равен $ x_2 = \frac{3\pi}{8} + \pi = \frac{11\pi}{8} $.
Оба корня принадлежат промежутку $ [0; 2\pi] $. Следовательно, на заданном промежутке уравнение имеет 2 корня.

15.17. Ответ: 2