Номер 15.10, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15.10. Вычислите:

a) $\sin 15^\circ + \operatorname{tg} 30^\circ \cos 15^\circ$;

б) $\cos 75^\circ \operatorname{ctg} 30^\circ + \sin 75^\circ$.

а) Для вычисления выражения $\sin 15^\circ + \tg 30^\circ \cos 15^\circ$ представим тангенс через синус и косинус, используя определение $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
Заменим $\tg 30^\circ$ на дробь $\frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ}$:
$\sin 15^\circ + \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} \cos 15^\circ$
Приведем выражение к общему знаменателю $\cos 30^\circ$:
$\frac{\sin 15^\circ \cos 30^\circ + \cos 15^\circ \sin 30^\circ}{\cos 30^\circ}$
В числителе дроби мы видим выражение, соответствующее формуле синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.
Применим эту формулу для $\alpha = 15^\circ$ и $\beta = 30^\circ$:
$\frac{\sin(15^\circ + 30^\circ)}{\cos 30^\circ} = \frac{\sin 45^\circ}{\cos 30^\circ}$
Теперь подставим табличные значения тригонометрических функций: $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$
Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

б) Для вычисления выражения $\cos 75^\circ \ctg 30^\circ + \sin 75^\circ$ представим котангенс через косинус и синус, используя определение $\ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
Заменим $\ctg 30^\circ$ на дробь $\frac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ}$:
$\cos 75^\circ \frac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ} + \sin 75^\circ$
Приведем выражение к общему знаменателю $\sin 30^\circ$:
$\frac{\cos 75^\circ \cos 30^\circ + \sin 75^\circ \sin 30^\circ}{\sin 30^\circ}$
В числителе дроби мы видим выражение, соответствующее формуле косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.
Применим эту формулу для $\alpha = 75^\circ$ и $\beta = 30^\circ$:
$\frac{\cos(75^\circ - 30^\circ)}{\sin 30^\circ} = \frac{\cos 45^\circ}{\sin 30^\circ}$
Теперь подставим табличные значения тригонометрических функций: $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.
$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{1} = \sqrt{2}$
Ответ: $\sqrt{2}$.