Номер 15.4, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15.4. Упростите выражение $cos(\\alpha + \\beta)cos(\\alpha - \\beta) + sin(\\alpha + \\beta)sin(\\alpha - \\beta)$ и найдите его значение при $\\beta = \\frac{5\\pi}{12}$.

Упростите выражение $\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta)$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой косинуса разности двух углов: $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$.

В нашем случае можно положить, что $x = \alpha + \beta$ и $y = \alpha - \beta$.

Тогда исходное выражение можно преобразовать в $\cos(x - y)$. Подставим значения $x$ и $y$ обратно в аргумент косинуса:

$\cos((\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)) = \cos(\alpha + \beta - \alpha + \beta) = \cos(2\beta)$.

Ответ: $\cos(2\beta)$.

Найдите его значение при $\beta = \frac{5\pi}{12}$

Теперь подставим заданное значение $\beta$ в полученное упрощенное выражение $\cos(2\beta)$:

$\cos(2 \cdot \frac{5\pi}{12}) = \cos(\frac{10\pi}{12}) = \cos(\frac{5\pi}{6})$.

Для вычисления значения $\cos(\frac{5\pi}{6})$ используем формулу приведения $\cos(\pi - z) = -\cos z$.

$\cos(\frac{5\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6})$.

Зная табличное значение $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, находим окончательный результат.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.