Номер 15.8, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15.8. Найдите $\sin(\alpha - \beta)$, если $\operatorname{tg} \alpha = 2$, $\operatorname{ctg} \beta = -\frac{3}{4}$, причем $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$,

$\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$.

Для того чтобы найти $sin(\alpha - \beta)$, воспользуемся формулой синуса разности:

$sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta$

Для этого нам потребуется вычислить значения синусов и косинусов для углов $\alpha$ и $\beta$ с учетом их четвертей.

Вычисление $sin\alpha$ и $cos\alpha$
По условию $tg\alpha = 2$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Это третья тригонометрическая четверть, в которой и синус, и косинус имеют отрицательные значения. Воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + tg^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}$:
$cos^2\alpha = \frac{1}{1 + tg^2\alpha} = \frac{1}{1 + 2^2} = \frac{1}{5}$.
Так как $cos\alpha < 0$, получаем $cos\alpha = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$.
Теперь найдем синус: $sin\alpha = tg\alpha \cdot cos\alpha = 2 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{5}}) = -\frac{2}{\sqrt{5}}$.

Вычисление $sin\beta$ и $cos\beta$
По условию $ctg\beta = -\frac{3}{4}$ и $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$. Это вторая тригонометрическая четверть, в которой синус положителен, а косинус отрицателен.
Воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + ctg^2\beta = \frac{1}{sin^2\beta}$:
$sin^2\beta = \frac{1}{1 + ctg^2\beta} = \frac{1}{1 + (-\frac{3}{4})^2} = \frac{1}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{1}{\frac{25}{16}} = \frac{16}{25}$.
Так как $sin\beta > 0$, получаем $sin\beta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
Теперь найдем косинус: $cos\beta = ctg\beta \cdot sin\beta = -\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{3}{5}$.

sin(α - β):
Подставим все найденные значения в формулу синуса разности и выполним вычисления:
$sin(\alpha - \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta - cos\alpha \cdot sin\beta = (-\frac{2}{\sqrt{5}}) \cdot (-\frac{3}{5}) - (-\frac{1}{\sqrt{5}}) \cdot (\frac{4}{5})$
$= \frac{6}{5\sqrt{5}} + \frac{4}{5\sqrt{5}} = \frac{10}{5\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
Избавившись от иррациональности в знаменателе, получаем: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.