Номер 15.14, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15.14. Найдите значение выражения $\frac{\sin 50^\circ \cos 12^\circ - \sin 40^\circ \cos 78^\circ}{\cos 68^\circ - \sqrt{3} \sin 68^\circ}$.

Для нахождения значения выражения необходимо последовательно упростить числитель и знаменатель дроби.

Упрощение числителя
Исходное выражение в числителе: $ \sin50^\circ \cos12^\circ - \sin40^\circ \cos78^\circ $.
Применим формулы приведения $ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha $ и $ \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha $.
$ \sin40^\circ = \sin(90^\circ - 50^\circ) = \cos50^\circ $
$ \cos78^\circ = \cos(90^\circ - 12^\circ) = \sin12^\circ $
Подставим преобразованные значения в выражение числителя:
$ \sin50^\circ \cos12^\circ - \cos50^\circ \sin12^\circ $
Это выражение соответствует формуле синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $.
Следовательно, числитель равен: $ \sin(50^\circ - 12^\circ) = \sin38^\circ $.

Упрощение знаменателя
Исходное выражение в знаменателе: $ \cos68^\circ - \sqrt{3}\sin68^\circ $.
Преобразуем выражение методом введения вспомогательного угла. Для этого вынесем за скобки множитель $ \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2 $:
$ 2 \left( \frac{1}{2}\cos68^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin68^\circ \right) $
Зная, что $ \frac{1}{2} = \cos60^\circ $ и $ \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin60^\circ $, подставим эти значения в скобки:
$ 2(\cos60^\circ\cos68^\circ - \sin60^\circ\sin68^\circ) $
Выражение в скобках соответствует формуле косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.
Следовательно, знаменатель равен: $ 2\cos(60^\circ + 68^\circ) = 2\cos128^\circ $.

Вычисление итогового значения
Для удобства дальнейших сокращений приведем знаменатель к углу, равному углу в числителе, используя формулу приведения $ \cos(90^\circ + \alpha) = -\sin\alpha $:
$ 2\cos128^\circ = 2\cos(90^\circ + 38^\circ) = -2\sin38^\circ $.
Теперь мы можем найти значение всего выражения, разделив упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:
$ \frac{\sin38^\circ}{-2\sin38^\circ} = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.