Номер 15.21, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15.21. Проверьте, верно ли равенство $\arcsin \frac{4}{5} - \arccos \frac{2}{\sqrt{5}} = \operatorname{arctg} \frac{1}{2}.$

Для проверки истинности равенства $ \arcsin\frac{4}{5} - \arccos\frac{2}{\sqrt{5}} = \operatorname{arctg}\frac{1}{2} $ преобразуем арксинус и арккосинус в арктангенсы, а затем воспользуемся формулой для разности арктангенсов.

Шаг 1: Преобразование $ \arcsin\frac{4}{5} $.

Пусть $ \alpha = \arcsin\frac{4}{5} $. Из определения арксинуса следует, что $ \sin\alpha = \frac{4}{5} $ и $ \alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Поскольку $ \frac{4}{5} > 0 $, угол $ \alpha $ находится в первой четверти: $ \alpha \in (0, \frac{\pi}{2}) $.

Найдем косинус этого угла: $ \cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} $.

Теперь найдем тангенс: $ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3} $. Так как $ \alpha \in (0, \frac{\pi}{2}) $, мы можем записать $ \alpha = \operatorname{arctg}\frac{4}{3} $. Следовательно, $ \arcsin\frac{4}{5} = \operatorname{arctg}\frac{4}{3} $.

Шаг 2: Преобразование $ \arccos\frac{2}{\sqrt{5}} $.

Пусть $ \beta = \arccos\frac{2}{\sqrt{5}} $. Из определения арккосинуса следует, что $ \cos\beta = \frac{2}{\sqrt{5}} $ и $ \beta \in [0, \pi] $. Поскольку $ \frac{2}{\sqrt{5}} > 0 $, угол $ \beta $ также находится в первой четверти: $ \beta \in (0, \frac{\pi}{2}) $.

Найдем синус этого угла: $ \sin\beta = \sqrt{1 - \cos^2\beta} = \sqrt{1 - (\frac{2}{\sqrt{5}})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} $.

Теперь найдем тангенс: $ \tan\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{1/\sqrt{5}}{2/\sqrt{5}} = \frac{1}{2} $. Так как $ \beta \in (0, \frac{\pi}{2}) $, мы можем записать $ \beta = \operatorname{arctg}\frac{1}{2} $. Следовательно, $ \arccos\frac{2}{\sqrt{5}} = \operatorname{arctg}\frac{1}{2} $.

Шаг 3: Подстановка и проверка.

Подставим полученные выражения в исходное равенство:

$ \operatorname{arctg}\frac{4}{3} - \operatorname{arctg}\frac{1}{2} = \operatorname{arctg}\frac{1}{2} $

Для проверки этого равенства вычислим левую часть, используя формулу разности арктангенсов: $ \operatorname{arctg}x - \operatorname{arctg}y = \operatorname{arctg}\frac{x-y}{1+xy} $. Эта формула верна, если $ xy > -1 $.

В нашем случае $ x = \frac{4}{3} $ и $ y = \frac{1}{2} $. Их произведение $ xy = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3} > -1 $, так что формула применима.

$ \operatorname{arctg}\frac{4}{3} - \operatorname{arctg}\frac{1}{2} = \operatorname{arctg}\left(\frac{\frac{4}{3} - \frac{1}{2}}{1 + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}}\right) = \operatorname{arctg}\left(\frac{\frac{8-3}{6}}{1 + \frac{2}{3}}\right) = \operatorname{arctg}\left(\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{3}}\right) = \operatorname{arctg}\left(\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5}\right) = \operatorname{arctg}\frac{1}{2} $.

После вычисления левой части мы получили $ \operatorname{arctg}\frac{1}{2} $. Таким образом, равенство принимает вид $ \operatorname{arctg}\frac{1}{2} = \operatorname{arctg}\frac{1}{2} $, что является тождеством.

Это доказывает, что исходное равенство верно.

Ответ: верно.