Номер 15.22, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15.22. Решите неравенство:

a) $ \sin x \sin 3x < \cos 3x \cos x; $

б) $ \sin x \cos \frac{5x}{2} \geq \cos x \sin \frac{5x}{2}; $

в) $ \sin 2x \cos 3x - \cos 2x \sin 3x \leq \frac{1}{2}; $

г) $ \cos 5x \cos 3x + \sin 5x \sin 3x > \frac{\sqrt{3}}{2}. $

а) Исходное неравенство: $\sin x \sin 3x < \cos 3x \cos x$.
Перенесем все члены в правую часть: $0 < \cos 3x \cos x - \sin x \sin 3x$.
Это можно переписать как: $\cos 3x \cos x - \sin 3x \sin x > 0$.
Левая часть неравенства соответствует формуле косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.
Применим эту формулу, где $\alpha = 3x$ и $\beta = x$: $\cos(3x + x) > 0$
$\cos(4x) > 0$
Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является интервал, где косинус положителен, то есть в I и IV координатных четвертях. $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 4x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 4: $-\frac{\pi}{8} + \frac{2\pi k}{4} < x < \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi k}{4}$
$-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} < x < \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}; \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}), k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное неравенство: $\sin x \cos \frac{5x}{2} \geqslant \cos x \sin \frac{5x}{2}$.
Перенесем члены из правой части в левую: $\sin x \cos \frac{5x}{2} - \cos x \sin \frac{5x}{2} \geqslant 0$.
Левая часть соответствует формуле синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.
Применим эту формулу, где $\alpha = x$ и $\beta = \frac{5x}{2}$: $\sin(x - \frac{5x}{2}) \geqslant 0$
$\sin(-\frac{3x}{2}) \geqslant 0$
Используя свойство нечетности функции синус ($\sin(-t) = -\sin t$): $-\sin(\frac{3x}{2}) \geqslant 0$
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный: $\sin(\frac{3x}{2}) \leqslant 0$
Решением этого неравенства являются интервалы, где синус отрицателен или равен нулю, то есть в III и IV координатных четвертях. $\pi + 2\pi n \leqslant \frac{3x}{2} \leqslant 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, умножим все части на $\frac{2}{3}$: $\frac{2}{3}(\pi + 2\pi n) \leqslant x \leqslant \frac{2}{3}(2\pi + 2\pi n)$
$\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3} \leqslant x \leqslant \frac{4\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.
Представим неправильную дробь $\frac{4}{3}$ в виде смешанного числа $1\frac{1}{3}$.
Ответ: $[\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}; \mathbf{1}\frac{1}{3}\pi + \frac{4\pi n}{3}], n \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное неравенство: $\sin 2x \cos 3x - \cos 2x \sin 3x \leqslant \frac{1}{2}$.
Левая часть неравенства соответствует формуле синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.
Применим эту формулу, где $\alpha = 2x$ и $\beta = 3x$: $\sin(2x - 3x) \leqslant \frac{1}{2}$
$\sin(-x) \leqslant \frac{1}{2}$
Используя свойство нечетности функции синус: $-\sin x \leqslant \frac{1}{2}$
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный: $\sin x \geqslant -\frac{1}{2}$
Решим это неравенство. Аргументы $x$, для которых $\sin x = -\frac{1}{2}$, равны $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$. Синус больше или равен $-\frac{1}{2}$ на дуге от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{7\pi}{6}$. $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k \leqslant x \leqslant \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Представим неправильную дробь $\frac{7}{6}$ в виде смешанного числа $1\frac{1}{6}$.
Ответ: $[-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \mathbf{1}\frac{1}{6}\pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное неравенство: $\cos 5x \cos 3x + \sin 5x \sin 3x > \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Левая часть неравенства соответствует формуле косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.
Применим эту формулу, где $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$: $\cos(5x - 3x) > \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos(2x) > \frac{\sqrt{3}}{2}$
Решим это простейшее тригонометрическое неравенство. Аргументы $t$, для которых $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$, равны $t = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$. Косинус больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на интервале между этими значениями. $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < 2x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 2: $-\frac{\pi}{12} + \pi k < x < \frac{\pi}{12} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(-\frac{\pi}{12} + \pi k; \frac{\pi}{12} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.