Номер 14.17, страница 80 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.17. Решите уравнение $x^2 + 2\sin\left(\frac{8\pi}{7}\right)x + 1 = 0.$

Данное уравнение $x^2 + 2\sin(\frac{8\pi}{7})x + 1 = 0$ является квадратным уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$.

Коэффициенты уравнения равны: $a = 1$, $b = 2\sin(\frac{8\pi}{7})$, $c = 1$.

Для нахождения корней уравнения вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = \left(2\sin\left(\frac{8\pi}{7}\right)\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4\sin^2\left(\frac{8\pi}{7}\right) - 4$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $\sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha$, преобразуем выражение для дискриминанта:

$D = 4\left(\sin^2\left(\frac{8\pi}{7}\right) - 1\right) = -4\cos^2\left(\frac{8\pi}{7}\right)$

Поскольку угол $\frac{8\pi}{7} = 1\frac{1}{7}\pi = \pi + \frac{\pi}{7}$ находится в третьей координатной четверти, его косинус отличен от нуля. Следовательно, $\cos^2(\frac{8\pi}{7}) > 0$, а дискриминант $D < 0$. Это означает, что уравнение не имеет действительных корней, но имеет два комплексно-сопряженных корня.

Найдем эти корни, используя формулу для корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2\sin(\frac{8\pi}{7}) \pm \sqrt{-4\cos^2(\frac{8\pi}{7})}}{2 \cdot 1}$

Извлекая корень из отрицательного числа, получаем мнимую единицу $i$:

$x = \frac{-2\sin(\frac{8\pi}{7}) \pm i \sqrt{4\cos^2(\frac{8\pi}{7})}}{2} = \frac{-2\sin(\frac{8\pi}{7}) \pm 2i|\cos(\frac{8\pi}{7})|}{2}$

$x = -\sin\left(\frac{8\pi}{7}\right) \pm i\left|\cos\left(\frac{8\pi}{7}\right)\right|$

Упростим тригонометрические функции, используя формулы приведения. Как было показано, угол $\frac{8\pi}{7}$ находится в третьей четверти, где синус и косинус отрицательны.

$\sin\left(\frac{8\pi}{7}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{7}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)$

$\cos\left(\frac{8\pi}{7}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{7}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)$

Поскольку $\frac{\pi}{7}$ — угол в первой четверти, $\cos(\frac{\pi}{7}) > 0$. Тогда модуль будет равен:

$\left|\cos\left(\frac{8\pi}{7}\right)\right| = \left|-\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)\right| = \cos\left(\frac{\pi}{7}\right)$

Подставим упрощенные выражения обратно в формулу для корней:

$x = -\left(-\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)\right) \pm i\cos\left(\frac{\pi}{7}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{7}\right) \pm i\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)$

Для приведения ответа к стандартной тригонометрической форме комплексного числа $z = \cos\phi + i\sin\phi$, воспользуемся формулами для дополнительных углов: $\sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ и $\cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

$\sin\left(\frac{\pi}{7}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}\right) = \cos\left(\frac{7\pi - 2\pi}{14}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{14}\right)$

$\cos\left(\frac{\pi}{7}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{14}\right)$

Таким образом, окончательное выражение для корней уравнения:

$x = \cos\left(\frac{5\pi}{14}\right) \pm i\sin\left(\frac{5\pi}{14}\right)$

Ответ: $x = \cos\left(\frac{5\pi}{14}\right) \pm i\sin\left(\frac{5\pi}{14}\right)$.