Номер 14.10, страница 80 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.10. Вычислите: $\frac{96}{\pi}\arccos\left(\sin\left(-\frac{23\pi}{48}\right)\right)$.

14.10. Для того, чтобы вычислить значение выражения $ \frac{96}{\pi}\arccos(\sin(-\frac{23\pi}{48})) $, необходимо последовательно упростить его, начиная с внутреннего аргумента.

1. Упростим выражение под знаком арккосинуса. Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $.
$ \sin(-\frac{23\pi}{48}) = -\sin(\frac{23\pi}{48}) $

2. Теперь воспользуемся формулой приведения $ \sin(\alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $, чтобы выразить синус через косинус.
$ \sin(\frac{23\pi}{48}) = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{23\pi}{48}) = \cos(\frac{24\pi}{48} - \frac{23\pi}{48}) = \cos(\frac{\pi}{48}) $

3. Подставим полученный результат обратно в арккосинус.
$ \arccos(\sin(-\frac{23\pi}{48})) = \arccos(-\cos(\frac{\pi}{48})) $
Применим свойство арккосинуса $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $.
$ \arccos(-\cos(\frac{\pi}{48})) = \pi - \arccos(\cos(\frac{\pi}{48})) $
Так как значение $ \frac{\pi}{48} $ находится в диапазоне $ [0, \pi] $, то $ \arccos(\cos(\frac{\pi}{48})) = \frac{\pi}{48} $.
Следовательно, значение всего выражения с арккосинусом равно:
$ \pi - \frac{\pi}{48} = \frac{48\pi - \pi}{48} = \frac{47\pi}{48} $

4. Подставим найденное значение в исходное выражение и вычислим окончательный ответ.
$ \frac{96}{\pi} \cdot \frac{47\pi}{48} = \frac{96 \cdot 47\pi}{48\pi} = 2 \cdot 47 = 94 $

Ответ: 94.