Номер 14.9, страница 80 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.9. Найдите значение выражения:

а) $\frac{\sin(\alpha - \frac{3\pi}{2})\sin(\alpha - \pi)}{\text{ctg}(2\pi - \alpha)}$, если $\text{ctg}(\alpha - \pi) = 0,75$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;

б) $\frac{\cos(\alpha - 270^{\circ})\sin(\alpha + 270^{\circ})}{\text{tg}(\alpha + 180^{\circ})}$, если $\sin(\alpha - 180^{\circ}) = -\frac{2}{\sqrt{5}}$.

а) Для нахождения значения выражения, сначала упростим его, используя формулы приведения.
1. Упростим $\sin(\alpha - \frac{3\pi}{2})$. Используя периодичность синуса ($2\pi$):
$\sin(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \sin(\alpha - \frac{3\pi}{2} + 2\pi) = \sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \cos \alpha$.
2. Упростим $\sin(\alpha - \pi)$. Используя нечетность синуса и формулу приведения:
$\sin(\alpha - \pi) = \sin(-(\pi - \alpha)) = -\sin(\pi - \alpha) = -\sin \alpha$.
3. Упростим $\text{ctg}(2\pi - \alpha)$. Используя периодичность котангенса ($ \pi $):
$\text{ctg}(2\pi - \alpha) = \text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg} \alpha$.
Теперь подставим упрощенные функции в исходное выражение:
$\frac{\sin(\alpha - \frac{3\pi}{2})\sin(\alpha - \pi)}{\text{ctg}(2\pi - \alpha)} = \frac{(\cos \alpha)(-\sin \alpha)}{-\text{ctg} \alpha} = \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\text{ctg} \alpha} = \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}$.
Так как по условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то $\cos \alpha \neq 0$, и мы можем сократить дробь:
$\sin \alpha \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \sin^2 \alpha$.
Далее, используем условие $\text{ctg}(\alpha - \pi) = 0,75$. Период котангенса равен $\pi$, поэтому $\text{ctg}(\alpha - \pi) = \text{ctg}\alpha$.
Следовательно, $\text{ctg}\alpha = 0,75 = \frac{3}{4}$.
Найдем $\sin^2\alpha$ из тригонометрического тождества $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$:
$1 + (\frac{3}{4})^2 = \frac{1}{\sin^2\alpha} \Rightarrow 1 + \frac{9}{16} = \frac{1}{\sin^2\alpha} \Rightarrow \frac{25}{16} = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.
Отсюда получаем, что значение выражения равно $\sin^2\alpha = \frac{16}{25}$.
Ответ: $\frac{16}{25}$.

б) Для нахождения значения выражения, сначала упростим его, используя формулы приведения.
1. Упростим $\cos(\alpha - 270^\circ)$. Используя периодичность косинуса ($360^\circ$):
$\cos(\alpha - 270^\circ) = \cos(\alpha - 270^\circ + 360^\circ) = \cos(\alpha + 90^\circ) = -\sin \alpha$.
2. Упростим $\sin(\alpha + 270^\circ)$:
$\sin(\alpha + 270^\circ) = \sin(270^\circ + \alpha) = -\cos \alpha$.
3. Упростим $\text{tg}(\alpha + 180^\circ)$. Используя периодичность тангенса ($180^\circ$):
$\text{tg}(\alpha + 180^\circ) = \text{tg} \alpha$.
Теперь подставим упрощенные функции в исходное выражение:
$\frac{\cos(\alpha - 270^\circ)\sin(\alpha + 270^\circ)}{\text{tg}(\alpha + 180^\circ)} = \frac{(-\sin \alpha)(-\cos \alpha)}{\text{tg} \alpha} = \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}$.
Из условия $\sin(\alpha - 180^\circ) = -\frac{2}{\sqrt{5}}$ найдем $\sin \alpha$:
$\sin(\alpha - 180^\circ) = -\sin(180^\circ - \alpha) = -\sin\alpha$.
Следовательно, $-\sin\alpha = -\frac{2}{\sqrt{5}}$, откуда $\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
Поскольку $\sin\alpha \neq 0$, мы можем сократить выражение:
$\sin \alpha \cos \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cos^2 \alpha$.
Найдем значение $\cos^2\alpha$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.