Номер 14.2, страница 79 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.2. Найдите значение выражения

$\sin^2 6.4\pi + \sin^2 2.9\pi - 4\operatorname{tg}1.4\pi \cdot \operatorname{tg}7.1\pi.$

Для решения данного выражения, упростим его по частям.

Сначала рассмотрим сумму $ \sin^2(6,4\pi) + \sin^2(2,9\pi) $. Используя периодичность функции синус ($ \sin(x+2\pi k) = \sin x $, где $k$ - целое число) и формулы приведения, преобразуем каждое слагаемое.

Для первого слагаемого:$ \sin(6,4\pi) = \sin(3 \cdot 2\pi + 0,4\pi) = \sin(0,4\pi) $.

Для второго слагаемого:$ \sin(2,9\pi) = \sin(3\pi - 0,1\pi) = \sin(\pi - 0,1\pi) = \sin(0,1\pi) $.

Таким образом, сумма принимает вид: $ \sin^2(0,4\pi) + \sin^2(0,1\pi) $.

Заметим, что сумма аргументов $ 0,4\pi + 0,1\pi = 0,5\pi = \frac{\pi}{2} $. Это означает, что углы $0,4\pi$ и $0,1\pi$ являются дополнительными друг к другу. Мы можем выразить один через другой: $0,4\pi = \frac{\pi}{2} - 0,1\pi$.

Применим формулу приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $:

$ \sin(0,4\pi) = \sin(\frac{\pi}{2} - 0,1\pi) = \cos(0,1\pi) $.

Подставим полученное выражение в сумму:

$ \sin^2(0,4\pi) + \sin^2(0,1\pi) = \cos^2(0,1\pi) + \sin^2(0,1\pi) $.

Согласно основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, значение этой суммы равно 1.

Теперь рассмотрим произведение $ -4\operatorname{tg}(1,4\pi) \cdot \operatorname{tg}(7,1\pi) $. Используя периодичность функции тангенс ($ \operatorname{tg}(x+\pi k) = \operatorname{tg} x $), упростим множители:

$ \operatorname{tg}(1,4\pi) = \operatorname{tg}(\pi + 0,4\pi) = \operatorname{tg}(0,4\pi) $

$ \operatorname{tg}(7,1\pi) = \operatorname{tg}(7\pi + 0,1\pi) = \operatorname{tg}(0,1\pi) $

Произведение принимает вид: $ -4\operatorname{tg}(0,4\pi) \cdot \operatorname{tg}(0,1\pi) $.

Снова используя соотношение для дополнительных углов $0,4\pi = \frac{\pi}{2} - 0,1\pi$ и формулу приведения $ \operatorname{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \operatorname{ctg}(\alpha) $, получаем:

$ \operatorname{tg}(0,4\pi) = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{2} - 0,1\pi) = \operatorname{ctg}(0,1\pi) $.

Подставим в произведение:

$ -4\operatorname{tg}(0,4\pi) \cdot \operatorname{tg}(0,1\pi) = -4\operatorname{ctg}(0,1\pi) \cdot \operatorname{tg}(0,1\pi) $.

Так как $ \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1 $, то произведение равно $ -4 \cdot 1 = -4 $.

Наконец, найдем значение всего выражения, сложив полученные результаты:

$ (\sin^2(6,4\pi) + \sin^2(2,9\pi)) - 4\operatorname{tg}(1,4\pi) \cdot \operatorname{tg}(7,1\pi) = 1 - 4 = -3 $.

Ответ: -3