Номер 13.28, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.28. Решите неравенство $\sin(\arccos(x^2 + \sqrt{3x})) \ge 1$.

Дано неравенство $sin(arccos(x^2 + \sqrt{3}x)) \ge 1$.

Функция синус определена для любого действительного аргумента, а ее область значений — отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что значение синуса не может быть больше 1. Следовательно, данное неравенство может выполняться только в одном случае — когда левая часть равна 1.

Таким образом, исходное неравенство равносильно уравнению: $sin(arccos(x^2 + \sqrt{3}x)) = 1$.

Решения уравнения $sin(\alpha) = 1$ имеют вид $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). В нашем случае в качестве $\alpha$ выступает выражение $arccos(x^2 + \sqrt{3}x)$. Получаем: $arccos(x^2 + \sqrt{3}x) = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Область значений функции арккосинус — это отрезок $[0, \pi]$. Необходимо найти такое целое значение $k$, при котором правая часть уравнения попадает в этот отрезок: $0 \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k \le \pi$.

Вычтем $\frac{\pi}{2}$ из всех частей двойного неравенства: $-\frac{\pi}{2} \le 2\pi k \le \frac{\pi}{2}$.

Теперь разделим все части на $2\pi$ (поскольку $2\pi > 0$, знаки неравенства не меняются): $-\frac{1}{4} \le k \le \frac{1}{4}$.

Единственное целое число $k$, которое удовлетворяет этому условию, — это $k=0$.

Следовательно, наше уравнение сводится к более простому: $arccos(x^2 + \sqrt{3}x) = \frac{\pi}{2}$.

По определению арккосинуса, если $arccos(y) = \alpha$, то $y = cos(\alpha)$. Применяя это правило, получаем: $x^2 + \sqrt{3}x = cos(\frac{\pi}{2})$.

Так как $cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, мы приходим к неполному квадратному уравнению: $x^2 + \sqrt{3}x = 0$.

Для решения вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x + \sqrt{3}) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находим два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -\sqrt{3}$.

Наконец, необходимо убедиться, что найденные значения $x$ входят в область определения исходной функции. Аргумент функции арккосинус должен находиться в пределах от -1 до 1 включительно. В нашем случае аргумент — это выражение $x^2 + \sqrt{3}x$. Для найденных корней оно равно 0, что полностью удовлетворяет условию $-1 \le 0 \le 1$. Таким образом, оба корня являются решениями.

13.28. Ответ: $\{-\sqrt{3}; 0\}$.