Номер 13.25, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.25. Найдите число корней уравнения $ \sin x - \frac{|2\cos x - 1|}{2\cos x - 1} \cdot \sin^2 x = \sin^2 x $ на промежутке $ [-\pi, 2\pi] $.

Исходное уравнение: $ \sin x - \frac{|2\cos x - 1|}{2\cos x - 1} \cdot \sin^2 x = \sin^2 x $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель дроби не равен нулю: $ 2\cos x - 1 \neq 0 $, откуда следует $ \cos x \neq \frac{1}{2} $.

Перенесем все члены уравнения в левую часть и сгруппируем их: $ \sin x - \sin^2 x - \frac{|2\cos x - 1|}{2\cos x - 1} \cdot \sin^2 x = 0 $

Можно вынести за скобки общий множитель $ \sin x $: $ \sin x \left( 1 - \sin x - \frac{|2\cos x - 1|}{2\cos x - 1} \cdot \sin x \right) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.

1. Первый множитель равен нулю: $ \sin x = 0 $.
Решения этого уравнения: $ x = n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Проверим, удовлетворяют ли эти решения ОДЗ ($ \cos x \neq \frac{1}{2} $). При $ x = n\pi $, $ \cos x = \cos(n\pi) = (-1)^n $. Так как ни $1$, ни $-1$ не равны $ \frac{1}{2} $, все решения этой серии подходят.

2. Второй множитель равен нулю: $ 1 - \sin x - \frac{|2\cos x - 1|}{2\cos x - 1} \cdot \sin x = 0 $.
Решение этого уравнения зависит от знака выражения $ 2\cos x - 1 $.

Случай а) $ 2\cos x - 1 > 0 $, то есть $ \cos x > \frac{1}{2} $.
В этом случае дробь $ \frac{|2\cos x - 1|}{2\cos x - 1} $ равна $1$. Уравнение принимает вид: $ 1 - \sin x - 1 \cdot \sin x = 0 $
$ 1 - 2\sin x = 0 $
$ \sin x = \frac{1}{2} $. Теперь мы должны найти такие $x$, для которых одновременно выполняются условия $ \sin x = \frac{1}{2} $ и $ \cos x > \frac{1}{2} $. Из основного тригонометрического тождества $ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $ следует, что если $ \sin x = \frac{1}{2} $, то $ \cos x = \pm\sqrt{1 - (1/2)^2} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} $. Условию $ \cos x > \frac{1}{2} $ (так как $ \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 > 0.5 $) удовлетворяет только $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Этим условиям соответствуют точки вида $ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} $.

Случай б) $ 2\cos x - 1 < 0 $, то есть $ \cos x < \frac{1}{2} $.
В этом случае дробь $ \frac{|2\cos x - 1|}{2\cos x - 1} $ равна $-1$. Уравнение принимает вид: $ 1 - \sin x - (-1) \cdot \sin x = 0 $
$ 1 - \sin x + \sin x = 0 $
$ 1 = 0 $. Полученное равенство неверно, следовательно, в этом случае решений нет.

Итак, все решения исходного уравнения задаются двумя сериями: $ x = n\pi, n \in \mathbb{Z} $ и $ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} $.

Теперь отберем корни, принадлежащие промежутку $ [-\pi, 2\pi] $.

Для серии $ x = n\pi $: Нужно найти целые $n$, удовлетворяющие неравенству $ -\pi \le n\pi \le 2\pi $, что эквивалентно $ -1 \le n \le 2 $. Подходящие значения $n$: -1, 0, 1, 2. Это дает 4 корня: $ -\pi, 0, \pi, 2\pi $.

Для серии $ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi $: Нужно найти целые $k$, удовлетворяющие неравенству $ -\pi \le \frac{\pi}{6} + 2k\pi \le 2\pi $. Разделим на $ \pi $: $ -1 \le \frac{1}{6} + 2k \le 2 $. Вычтем $ \frac{1}{6} $: $ -1 - \frac{1}{6} \le 2k \le 2 - \frac{1}{6} $, то есть $ -\frac{7}{6} \le 2k \le \frac{11}{6} $. Разделим на 2: $ -\frac{7}{12} \le k \le \frac{11}{12} $. Единственное целое число в этом диапазоне — $k=0$. Это дает 1 корень: $ x = \frac{\pi}{6} $.

Всего на промежутке $ [-\pi, 2\pi] $ имеется $ 4 + 1 = 5 $ различных корней.

Число корней уравнения на промежутке $[-\pi, 2\pi]$: Ответ: 5