Номер 13.20, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.20. Найдите наименьший положительный и наибольший отрицательный корни уравнения $ \frac{\sin 2x}{1 - \cos 2x} = 0$.

Данное уравнение представляет собой дробь, которая равна нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Запишем эти условия в виде системы:

$\begin{cases} \sin(2x) = 0 \\ 1 - \cos(2x) \neq 0\end{cases}$

1. Решим первое уравнение системы:

$\sin(2x) = 0$

Решения этого уравнения (частный случай) имеют вид:

$2x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Теперь решим неравенство, соответствующее знаменателю (область допустимых значений или ОДЗ):

$1 - \cos(2x) \neq 0$

$\cos(2x) \neq 1$

Значение косинуса равно 1 при аргументе, равном $2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, $2x \neq 2\pi k$.

Отсюда, $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Совместим полученные решения с ОДЗ. Необходимо исключить из множества решений $x = \frac{\pi n}{2}$ те значения, которые совпадают с $x = \pi k$. Это происходит, когда $n$ является чётным числом (т.е. $n=2k$).

Таким образом, для $n$ подходят только нечётные значения. Запишем нечётное число в виде $n = 2m + 1$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид:

$x = \frac{\pi (2m + 1)}{2} = \pi m + \frac{\pi}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Теперь, используя эту формулу, найдём требуемые корни.

наименьший положительный корень
Для нахождения наименьшего положительного корня будем перебирать целые значения $m$, чтобы найти наименьший положительный $x$.
При $m = -1$: $x = \pi(-1) + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$ (это отрицательный корень).
При $m = 0$: $x = \pi(0) + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ (это положительный корень).
При $m = 1$: $x = \pi(1) + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$ (это тоже положительный корень, но он больше, чем $\frac{\pi}{2}$).
Следовательно, наименьший положительный корень равен $\frac{\pi}{2}$. Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

наибольший отрицательный корень
Для нахождения наибольшего отрицательного корня продолжим перебор значений $m$, чтобы найти наибольший отрицательный $x$ (ближайший к нулю).
Из предыдущего пункта мы уже нашли, что при $m = -1$, $x = -\frac{\pi}{2}$.
Проверим следующее меньшее значение $m = -2$: $x = \pi(-2) + \frac{\pi}{2} = -2\pi + \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2}$.
Так как $-\frac{\pi}{2} > -\frac{3\pi}{2}$, наибольшим отрицательным корнем является $-\frac{\pi}{2}$.
Следовательно, наибольший отрицательный корень равен $-\frac{\pi}{2}$. Ответ: $-\frac{\pi}{2}$.