Номер 13.21, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.21. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $\frac{\cos 2x}{1-\sqrt{2} \sin x} = 0$.

Данное уравнение представляет собой дробь, равную нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это равносильно системе:

$\begin{cases} \cos(2x) = 0, \\ 1 - \sqrt{2}\sin x \neq 0. \end{cases}$

Сначала решим первое уравнение системы:

$\cos(2x) = 0$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Его корни находятся по формуле:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

Разделив обе части уравнения на 2, получим общую формулу для корней:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь рассмотрим второе условие системы — ограничение на знаменатель:

$1 - \sqrt{2}\sin x \neq 0$

$\sqrt{2}\sin x \neq 1$

$\sin x \neq \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin x \neq \frac{\sqrt{2}}{2}$

Значения $x$, при которых $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, должны быть исключены из нашего решения. Это происходит при:

$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Теперь необходимо исключить эти значения из общего решения $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

1. Проверим, при каких $n$ наше решение совпадает с первой серией исключаемых корней:

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$\frac{\pi n}{2} = 2\pi k$

$n = 4k$

Это означает, что значения $n$, которые являются кратными 4 (например, -4, 0, 4, ...), не подходят.

2. Проверим, при каких $n$ наше решение совпадает со второй серией исключаемых корней:

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$

$\frac{\pi n}{2} = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$\frac{\pi n}{2} = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k$

$\frac{n}{2} = \frac{1}{2} + 2k$

$n = 1 + 4k$

Это означает, что значения $n$ вида $1+4k$ (например, -3, 1, 5, ...), также не подходят.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$ для всех целых $n$, кроме тех, что имеют вид $n=4k$ и $n=1+4k$.

По условию задачи нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Это значит, что мы ищем наибольшее значение $x < 0$.

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < 0$

$\frac{\pi}{4}(1 + 2n) < 0$

Поскольку $\frac{\pi}{4} > 0$, то должно выполняться неравенство:

$1 + 2n < 0 \implies 2n < -1 \implies n < -0.5$.

Найдём наибольшее целое $n$, удовлетворяющее этому условию и не являющееся исключённым. Будем перебирать целые $n$ в порядке убывания, начиная с $n=-1$.

• При $n = -1$: это значение не имеет вида $4k$ или $1+4k$, следовательно, оно допустимо. Корень при $n=-1$ равен: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(-1)}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$.
• При $n = -2$: это значение также не имеет вида $4k$ или $1+4k$ и является допустимым. Корень при $n=-2$ равен: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(-2)}{2} = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$.
• При $n = -3$: это значение имеет вид $1+4k$ при $k=-1$, поэтому оно исключается.
• При $n = -4$: это значение имеет вид $4k$ при $k=-1$, поэтому оно также исключается.

Продолжая перебор, мы будем получать всё меньшие (более отрицательные) значения $x$. Наибольшим из найденных отрицательных корней является тот, который соответствует наибольшему допустимому значению $n$, то есть $n=-1$.

Сравним полученные корни: $-\frac{\pi}{4}$ и $-\frac{3\pi}{4}$. Очевидно, что $-\frac{\pi}{4} > -\frac{3\pi}{4}$.

Следовательно, наибольший отрицательный корень уравнения равен $-\frac{\pi}{4}$.

13.21. Ответ: $-\frac{\pi}{4}$.