Номер 13.14, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.14. Определите число корней уравнения $\sin^2 x - (1 + \sqrt{3})\sin x \cos x + \sqrt{3}\cos^2 x = 0$ на промежутке $[-2\pi, \frac{5\pi}{2}].$

Данное уравнение $\sin^2 x - (1 + \sqrt{3})\sin x \cos x + \sqrt{3}\cos^2 x = 0$ является однородным тригонометрическим уравнением второго порядка.

Сначала проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставляя эти значения в исходное уравнение, получаем $1 - (1 + \sqrt{3})\cdot(\pm 1)\cdot 0 + \sqrt{3}\cdot 0^2 = 1$. Так как $1 \neq 0$, то $\cos x = 0$ не является решением уравнения. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$, который не равен нулю.

Выполним деление:

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - (1 + \sqrt{3})\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \sqrt{3}\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$\tan^2 x - (1 + \sqrt{3})\tan x + \sqrt{3} = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $\tan x$. Сделаем замену $t = \tan x$:

$t^2 - (1 + \sqrt{3})t + \sqrt{3} = 0$

По теореме Виета, сумма корней этого уравнения $t_1 + t_2 = 1 + \sqrt{3}$, а произведение корней $t_1 \cdot t_2 = \sqrt{3}$. Отсюда следует, что корнями являются $t_1 = 1$ и $t_2 = \sqrt{3}$.

Вернемся к замене и решим два простейших тригонометрических уравнения:

1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$

2) $\tan x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z$

Теперь определим, сколько корней из этих двух серий принадлежит промежутку $[-2\pi, \frac{5\pi}{2}]$.

Для первой серии корней $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ найдем подходящие целые значения $n$ из двойного неравенства:

$-2\pi \le \frac{\pi}{4} + \pi n \le \frac{5\pi}{2}$

Разделим все части на $\pi$: $-2 \le \frac{1}{4} + n \le \frac{5}{2}$.

Вычтем $\frac{1}{4}$: $-2 - \frac{1}{4} \le n \le \frac{5}{2} - \frac{1}{4}$, что равносильно $-\frac{9}{4} \le n \le \frac{9}{4}$, или $-2.25 \le n \le 2.25$.

Этому условию удовлетворяют следующие целые значения $n: -2, -1, 0, 1, 2$. Таким образом, из первой серии в заданный промежуток попадают 5 корней.

Для второй серии корней $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$ найдем подходящие целые значения $k$ из двойного неравенства:

$-2\pi \le \frac{\pi}{3} + \pi k \le \frac{5\pi}{2}$

Разделим все части на $\pi$: $-2 \le \frac{1}{3} + k \le \frac{5}{2}$.

Вычтем $\frac{1}{3}$: $-2 - \frac{1}{3} \le k \le \frac{5}{2} - \frac{1}{3}$, что равносильно $-\frac{7}{3} \le k \le \frac{13}{6}$, или приблизительно $-2.33 \le k \le 2.17$.

Этому условию удовлетворяют следующие целые значения $k: -2, -1, 0, 1, 2$. Таким образом, из второй серии в заданный промежуток также попадают 5 корней.

Общее число корней уравнения на промежутке $[-2\pi, \frac{5\pi}{2}]$ равно сумме корней из обеих серий: $5 + 5 = 10$.

Ответ: 10