Номер 13.18, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.18. Докажите, что уравнение $\sqrt{8 + \cos x} = 3 + x^4$ имеет единственный корень.

Для доказательства того, что уравнение $\sqrt{8 + \cos x} = 3 + x^4$ имеет единственный корень, проанализируем области значений его левой и правой частей.

Рассмотрим левую часть уравнения: $f(x) = \sqrt{8 + \cos x}$.
Мы знаем, что область значений функции косинуса находится в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.
Следовательно, выражение под корнем $8 + \cos x$ находится в пределах от $8-1=7$ до $8+1=9$.
$7 \le 8 + \cos x \le 9$.
Из этого следует, что область значений левой части уравнения: $\sqrt{7} \le \sqrt{8 + \cos x} \le \sqrt{9}$, или $\sqrt{7} \le f(x) \le 3$.
Таким образом, максимальное значение, которое может принимать левая часть уравнения, равно 3.

Рассмотрим правую часть уравнения: $g(x) = 3 + x^4$.
Выражение $x^4$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $x$, то есть $x^4 \ge 0$.
Следовательно, правая часть $3 + x^4$ всегда будет не меньше 3, то есть $g(x) \ge 3$.
Таким образом, минимальное значение, которое может принимать правая часть уравнения, равно 3.

Сопоставляя результаты, мы видим, что левая часть уравнения не превышает 3, а правая часть не меньше 3. Равенство $f(x) = g(x)$ возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны 3. Это условие можно записать в виде системы уравнений:
$\sqrt{8 + \cos x} = 3$
$3 + x^4 = 3$

Решим второе уравнение системы:
$3 + x^4 = 3$
$x^4 = 0$
$x = 0$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденное значение $x=0$ первому уравнению системы. Подставим $x=0$ в первое уравнение:
$\sqrt{8 + \cos(0)} = \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
$3 = 3$.
Равенство выполняется.

Поскольку равенство левой и правой частей исходного уравнения возможно только при $x = 0$, это значение является единственным решением. Что и требовалось доказать.

13.18. Ответ: Доказано, что уравнение имеет единственный корень ($x=0$), так как равенство левой и правой частей достигается только в одной точке, где значение обеих частей равно 3.