Номер 13.13, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.13. Найдите (в градусах) среднее арифметическое корней уравнения $ \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x = 0 $, принадлежащих промежутку $ [-120^\circ; 90^\circ] $.

Для решения уравнения $\sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x = 0$ вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:
$\sin x (\sin x + \sqrt{3} \cos x) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два отдельных случая:

1) $\sin x = 0$
Общее решение этого уравнения в градусах: $x = 180^\circ \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0$
Это однородное тригонометрическое уравнение. Поскольку значения $x$, при которых $\cos x = 0$, не являются решениями данного уравнения (так как если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно одновременно), мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$:
$\frac{\sin x}{\cos x} + \sqrt{3} = 0$
$\tan x = -\sqrt{3}$
Общее решение этого уравнения в градусах: $x = -60^\circ + 180^\circ \cdot k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо найти корни, которые принадлежат заданному промежутку $[-120^\circ; 90^\circ]$.

Для первой серии корней $x = 180^\circ \cdot n$:
При $n=0$, получаем $x = 0^\circ$. Этот корень принадлежит промежутку $[-120^\circ; 90^\circ]$.
При других целых $n$ (например, $n=1$ или $n=-1$) корни выходят за пределы промежутка.

Для второй серии корней $x = -60^\circ + 180^\circ \cdot k$:
При $k=0$, получаем $x = -60^\circ$. Этот корень принадлежит промежутку $[-120^\circ; 90^\circ]$.
При других целых $k$ (например, $k=1$ или $k=-1$) корни выходят за пределы промежутка.

Таким образом, на заданном промежутке уравнение имеет два корня: $0^\circ$ и $-60^\circ$.

Найдем среднее арифметическое этих корней. Среднее арифметическое — это сумма корней, деленная на их количество.
$\frac{0^\circ + (-60^\circ)}{2} = \frac{-60^\circ}{2} = -30^\circ$.

Ответ: -30