Номер 13.10, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.10. Определите число корней уравнения на промежутке $[-12\pi; 5\pi]$:

$(\cos x - 1)\cot x = 0$;

$(\cos x + 1)(\cot x - \sqrt{3}) = 0$;

$(\sin x - 1)(\tan x - \frac{\sqrt{3}}{3}) = 0$;

$\sin x \cdot \tan x - \sin x + \tan x - 1 = 0$.

Рассмотрим уравнение $(\cos x - 1)\operatorname{ctg}x = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом существует. Это равносильно совокупности двух систем:

1) $\cos x - 1 = 0$ при условии, что $\operatorname{ctg}x$ определен.

2) $\operatorname{ctg}x = 0$ при условии, что $\cos x - 1$ определен (что верно для любого $x$).

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием существования котангенса: $\sin x \neq 0$, что означает $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим первое уравнение: $\cos x = 1$. Его решениями являются $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим, входят ли эти решения в ОДЗ. При $x = 2\pi n$, мы имеем $\sin(2\pi n) = 0$. Следовательно, эти значения не являются корнями исходного уравнения, так как для них $\operatorname{ctg}x$ не определен.

Решим второе уравнение: $\operatorname{ctg}x = 0$. Его решениями являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим ОДЗ для этих решений: $\sin(\frac{\pi}{2} + \pi n) = (-1)^n \neq 0$. Все эти решения являются корнями исходного уравнения.

Теперь найдем количество корней из серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ на заданном промежутке $[-12\pi; 5\pi]$. Для этого решим двойное неравенство относительно $n$:

$-12\pi \le \frac{\pi}{2} + \pi n \le 5\pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-12 \le \frac{1}{2} + n \le 5$

Вычтем $\frac{1}{2}$ из всех частей:

$-12 - \frac{1}{2} \le n \le 5 - \frac{1}{2}$

$-12,5 \le n \le 4,5$

Так как $n$ должно быть целым числом, то $n$ может принимать значения от -12 до 4 включительно. Количество таких целых чисел равно $4 - (-12) + 1 = 17$.

Ответ: 17

Рассмотрим уравнение $(\cos x + 1)(\operatorname{ctg}x - \sqrt{3}) = 0$.

ОДЗ: $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Уравнение распадается на два случая с учетом ОДЗ:

1) $\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1$. Решения: $x = \pi + 2\pi n = \pi(2n+1)$, $n \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $x$, $\sin x = \sin(\pi(2n+1)) = 0$. Следовательно, эти решения не входят в ОДЗ, так как для них $\operatorname{ctg}x$ не определен.

2) $\operatorname{ctg}x - \sqrt{3} = 0 \implies \operatorname{ctg}x = \sqrt{3}$. Решения: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Для этих решений $\sin(\frac{\pi}{6} + \pi n) \neq 0$, поэтому они являются корнями уравнения.

Найдем количество корней из серии $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$ на промежутке $[-12\pi; 5\pi]$.

$-12\pi \le \frac{\pi}{6} + \pi n \le 5\pi$

$-12 \le \frac{1}{6} + n \le 5$

$-12 - \frac{1}{6} \le n \le 5 - \frac{1}{6}$

$-12\frac{1}{6} \le n \le 4\frac{5}{6}$

Целые значения $n$, удовлетворяющие неравенству: $-12, -11, \dots, 3, 4$.

Количество таких целых чисел: $4 - (-12) + 1 = 17$.

Ответ: 17

Рассмотрим уравнение $(\sin x - 1)(\operatorname{tg}x - \frac{\sqrt{3}}{3}) = 0$.

ОДЗ: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Уравнение распадается на два случая с учетом ОДЗ:

1) $\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = 1$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $x$, $\cos x = \cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 0$. Следовательно, эти решения не входят в ОДЗ, так как для них $\operatorname{tg}x$ не определен.

2) $\operatorname{tg}x - \frac{\sqrt{3}}{3} = 0 \implies \operatorname{tg}x = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Решения: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Для этих решений $\cos(\frac{\pi}{6} + \pi n) \neq 0$, поэтому они являются корнями уравнения.

Найдем количество корней из серии $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$ на промежутке $[-12\pi; 5\pi]$. Это та же серия корней и тот же промежуток, что и в пункте б).

$-12\pi \le \frac{\pi}{6} + \pi n \le 5\pi \implies -12\frac{1}{6} \le n \le 4\frac{5}{6}$

Целые значения $n$: $-12, -11, \dots, 3, 4$.

Количество целых чисел: $4 - (-12) + 1 = 17$.

Ответ: 17

Рассмотрим уравнение $\sin x \cdot \operatorname{tg}x - \sin x + \operatorname{tg}x - 1 = 0$.

Сначала преобразуем уравнение, сгруппировав слагаемые и разложив левую часть на множители:

$(\sin x \cdot \operatorname{tg}x - \sin x) + (\operatorname{tg}x - 1) = 0$

$\sin x(\operatorname{tg}x - 1) + 1(\operatorname{tg}x - 1) = 0$

$(\sin x + 1)(\operatorname{tg}x - 1) = 0$

ОДЗ: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Уравнение распадается на два случая с учетом ОДЗ:

1) $\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -1$. Решения: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $x$, $\cos x = \cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 0$. Следовательно, эти решения не входят в ОДЗ, так как для них $\operatorname{tg}x$ не определен.

2) $\operatorname{tg}x - 1 = 0 \implies \operatorname{tg}x = 1$. Решения: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Для этих решений $\cos(\frac{\pi}{4} + \pi n) \neq 0$, поэтому они являются корнями уравнения.

Найдем количество корней из серии $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ на промежутке $[-12\pi; 5\pi]$.

$-12\pi \le \frac{\pi}{4} + \pi n \le 5\pi$

$-12 \le \frac{1}{4} + n \le 5$

$-12 - \frac{1}{4} \le n \le 5 - \frac{1}{4}$

$-12\frac{1}{4} \le n \le 4\frac{3}{4}$

Целые значения $n$, удовлетворяющие неравенству: $-12, -11, \dots, 3, 4$.

Количество таких целых чисел: $4 - (-12) + 1 = 17$.

Ответ: 17