Номер 13.4, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13.4. Найдите нули функции $f(x) = \sqrt{3}\text{tg}\left(\frac{\pi}{8} - 7x\right) + 1$.

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю. Чтобы найти нули для функции $f(x) = \sqrt{3}\text{tg}(\frac{\pi}{8}-7x) + 1$, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.

Приравняем функцию к нулю и решим уравнение:

$\sqrt{3}\text{tg}(\frac{\pi}{8}-7x) + 1 = 0$

Перенесем $1$ в правую часть уравнения:

$\sqrt{3}\text{tg}(\frac{\pi}{8}-7x) = -1$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$\text{tg}(\frac{\pi}{8}-7x) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $\text{tg}(y) = a$ имеет вид $y = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В нашем случае, зная, что $\text{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:

$\frac{\pi}{8}-7x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Теперь выразим $x$. Для этого сначала выделим $-7x$:

$-7x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{8} + \pi n$

Приведем дроби $-\frac{\pi}{6}$ и $-\frac{\pi}{8}$ к общему знаменателю 24:

$-7x = -\frac{4\pi}{24} - \frac{3\pi}{24} + \pi n$

$-7x = -\frac{7\pi}{24} + \pi n$

Разделим обе части уравнения на $-7$:

$x = \frac{-7\pi/24}{-7} + \frac{\pi n}{-7}$

$x = \frac{\pi}{24} - \frac{\pi n}{7}, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Поскольку $n$ — любое целое число (положительное, отрицательное или ноль), то $-n$ также пробегает все целые числа. Для более стандартной формы записи можно заменить $-n$ на $k$, где $k$ также является любым целым числом.

Ответ: $x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{7}, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.