Номер 12.20, страница 64 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.20. Решите уравнение $2\arcsin x = -\pi - (x+1)^2$.

Данное уравнение: $2\arcsin{x} = -\pi - (x+1)^2$.

Для решения этого уравнения применим метод оценки областей значений левой и правой частей. Этот метод эффективен для уравнений, содержащих функции разной природы (в данном случае — обратную тригонометрическую и квадратичную).

1. Рассмотрим левую часть уравнения: $f(x) = 2\arcsin{x}$.

Область определения функции арксинус есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $x \in [-1, 1]$. Это является областью допустимых значений для всего уравнения.

Область значений функции арксинус — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Следовательно, область значений для левой части уравнения $f(x) = 2\arcsin{x}$ будет $[2 \cdot (-\frac{\pi}{2}), 2 \cdot \frac{\pi}{2}]$, то есть $E(f) = [-\pi, \pi]$.

2. Рассмотрим правую часть уравнения: $g(x) = -\pi - (x+1)^2$.

Выражение $(x+1)^2$ как квадрат действительного числа всегда неотрицательно: $(x+1)^2 \ge 0$.

Умножив на -1, получаем: $-(x+1)^2 \le 0$.

Прибавив $-\pi$, получим оценку для всей правой части: $-\pi - (x+1)^2 \le -\pi$.

Таким образом, область значений для правой части $g(x)$ есть луч $(-\infty, -\pi]$, то есть $E(g) = (-\infty, -\pi]$.

3. Равенство $f(x) = g(x)$ возможно только в том случае, когда их значения совпадают. Сравнивая полученные области значений $E(f) = [-\pi, \pi]$ и $E(g) = (-\infty, -\pi]$, мы видим, что единственное значение, которое они могут одновременно принимать, это $-\pi$.

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе, в которой обе части одновременно равны $-\pi$:

$$\begin{cases}2\arcsin{x} = -\pi \\-\pi - (x+1)^2 = -\pi\end{cases}$$

Решим первое уравнение системы:

$2\arcsin{x} = -\pi$

$\arcsin{x} = -\frac{\pi}{2}$

Из определения арксинуса следует, что $x = \sin(-\frac{\pi}{2})$, откуда $x = -1$.

Решим второе уравнение системы:

$-\pi - (x+1)^2 = -\pi$

$-(x+1)^2 = 0$

$(x+1)^2 = 0$

$x+1 = 0$, откуда $x = -1$.

Оба уравнения системы имеют общий корень $x = -1$. Этот корень принадлежит области допустимых значений $x \in [-1, 1]$.

Проверим найденный корень, подставив его в исходное уравнение:

$2\arcsin(-1) = -\pi - (-1+1)^2$

$2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) = -\pi - 0^2$

$-\pi = -\pi$

Равенство верное, значит, $x=-1$ является единственным решением уравнения.

Ответ: -1