Номер 12.13, страница 64 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.13. Найдите все корни уравнения $ \arcsin^2 x + \arccos^2 x = \frac{5\pi^2}{36} $.

Исходное уравнение:$ \arcsin^2 x + \arccos^2 x = \frac{5\pi^2}{36} $

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется областью определения функций $ \arcsin x $ и $ \arccos x $, то есть $ x \in [-1, 1] $.

Воспользуемся основным тождеством для обратных тригонометрических функций:$ \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} $

Из этого тождества выразим $ \arccos x $:$ \arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x $

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:$ \arcsin^2 x + \left(\frac{\pi}{2} - \arcsin x\right)^2 = \frac{5\pi^2}{36} $

Для удобства решения введем замену переменной. Пусть $ t = \arcsin x $. При этом, согласно области значений функции арксинус, должно выполняться условие $ t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Уравнение примет вид:$ t^2 + \left(\frac{\pi}{2} - t\right)^2 = \frac{5\pi^2}{36} $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:$ t^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi t + t^2 = \frac{5\pi^2}{36} $$ 2t^2 - \pi t + \frac{\pi^2}{4} - \frac{5\pi^2}{36} = 0 $

Вычислим разность дробей:$ \frac{\pi^2}{4} - \frac{5\pi^2}{36} = \frac{9\pi^2}{36} - \frac{5\pi^2}{36} = \frac{4\pi^2}{36} = \frac{\pi^2}{9} $

Таким образом, мы получили квадратное уравнение относительно переменной $ t $:$ 2t^2 - \pi t + \frac{\pi^2}{9} = 0 $

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:$ D = b^2 - 4ac = (-\pi)^2 - 4 \cdot 2 \cdot \frac{\pi^2}{9} = \pi^2 - \frac{8\pi^2}{9} = \frac{9\pi^2 - 8\pi^2}{9} = \frac{\pi^2}{9} $

Так как $ D > 0 $, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:$ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{\pi \pm \sqrt{\frac{\pi^2}{9}}}{2 \cdot 2} = \frac{\pi \pm \frac{\pi}{3}}{4} $

Вычислим оба значения для $ t $:$ t_1 = \frac{\pi + \frac{\pi}{3}}{4} = \frac{\frac{4\pi}{3}}{4} = \frac{\pi}{3} $$ t_2 = \frac{\pi - \frac{\pi}{3}}{4} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{4} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6} $

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения условию $ t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Оба значения, $ \frac{\pi}{3} $ и $ \frac{\pi}{6} $, принадлежат этому отрезку, следовательно, оба являются решениями для $ t $.

Выполним обратную замену $ t = \arcsin x $:
1) $ \arcsin x = \frac{\pi}{3} \implies x = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $
2) $ \arcsin x = \frac{\pi}{6} \implies x = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $

Оба найденных корня $ x = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ x = \frac{1}{2} $ принадлежат ОДЗ $ [-1, 1] $.

Ответ: $ \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} $.