Номер 12.14, страница 64 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.14. Решите неравенство:

a) $\arcsin(x-1) > -\frac{\pi}{6};$

б) $\arccos\frac{1}{x} \le \frac{\pi}{3}.$

Решим неравенство $\arcsin(x-1) > -\frac{\pi}{6}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства. Аргумент функции арксинус должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$:

$-1 \le x-1 \le 1$

Прибавив 1 ко всем частям двойного неравенства, получим:

$0 \le x \le 2$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [0, 2]$.

Теперь решим само неравенство. Функция $y = \arcsin(t)$ является возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Также учтем, что область значений функции арксинус — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Неравенство $\arcsin(x-1) > -\frac{\pi}{6}$ можно переписать, применив к обеим частям возрастающую функцию синус. Знак неравенства при этом сохранится.

$\sin(\arcsin(x-1)) > \sin(-\frac{\pi}{6})$

Вычисляем значения:

$x-1 > -\frac{1}{2}$

Решаем полученное линейное неравенство:

$x > 1 - \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Наконец, найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $x \in (\frac{1}{2}, \infty)$ и $x \in [0, 2]$.

Пересечением этих двух множеств является промежуток $(\frac{1}{2}, 2]$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}, 2]$.

Решим неравенство $\arccos(\frac{1}{x}) \le \frac{\pi}{3}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент функции арккосинус должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$:

$-1 \le \frac{1}{x} \le 1$

Это неравенство равносильно тому, что $|\frac{1}{x}| \le 1$, или $|x| \ge 1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Теперь решим само неравенство. Функция $y = \arccos(t)$ является убывающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Область значений арккосинуса — отрезок $[0, \pi]$.

Учитывая, что $\arccos(\frac{1}{x}) \ge 0$ по определению, исходное неравенство можно записать в виде:

$0 \le \arccos(\frac{1}{x}) \le \frac{\pi}{3}$

Применим к обеим частям убывающую функцию косинус. Знаки неравенства при этом изменятся на противоположные:

$\cos(0) \ge \cos(\arccos(\frac{1}{x})) \ge \cos(\frac{\pi}{3})$

Вычисляем значения:

$1 \ge \frac{1}{x} \ge \frac{1}{2}$

Решим полученное двойное неравенство $\frac{1}{2} \le \frac{1}{x} \le 1$.

Из того, что $\frac{1}{x} \ge \frac{1}{2}$, следует, что $\frac{1}{x}$ и, следовательно, $x$ являются положительными числами.

Для положительных $x$ мы можем взять обратные величины для всех частей неравенства, снова изменив знаки на противоположные:

$2 \ge x \ge 1$

Получаем решение: $x \in [1, 2]$.

Данное решение полностью удовлетворяет ОДЗ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Ответ: $x \in [1, 2]$.