Номер 12.8, страница 63 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.8. Вычислите:

a) $ \sin\left(\arccos \frac{3}{5}\right); $

б) $ \text{tg}\left(\arcsin \frac{12}{13}\right); $

в) $ \text{tg}\left(\arccos \frac{5}{13}\right); $

г) $ \text{ctg}\left(\arcsin \frac{8}{17}\right). $

а) Для вычисления $ \sin(\arccos\frac{3}{5}) $ введем обозначение $ \alpha = \arccos\frac{3}{5} $. По определению арккосинуса, это означает, что $ \cos\alpha = \frac{3}{5} $ и угол $ \alpha $ находится в промежутке $ [0, \pi] $. Нам необходимо найти $ \sin\alpha $. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $. Выразим синус: $ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $. Подставим известное значение косинуса: $ \sin^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25} $. Отсюда $ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5} $. Поскольку $ \alpha \in [0, \pi] $, значение синуса для такого угла неотрицательно, т.е. $ \sin\alpha \ge 0 $. Следовательно, выбираем положительное значение: $ \sin\alpha = \frac{4}{5} $. Ответ: $ \frac{4}{5} $.

б) Для вычисления $ \tg(\arcsin\frac{12}{13}) $ обозначим $ \alpha = \arcsin\frac{12}{13} $. По определению арксинуса, $ \sin\alpha = \frac{12}{13} $ и $ \alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Нам нужно найти $ \tg\alpha $, который равен $ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $. Найдем $ \cos\alpha $, используя основное тригонометрическое тождество: $ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $. $ \cos^2\alpha = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} $. Отсюда $ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13} $. Так как $ \sin\alpha = \frac{12}{13} > 0 $ и $ \alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, угол $ \alpha $ лежит в первой четверти ($ 0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $), где косинус положителен. Значит, $ \cos\alpha = \frac{5}{13} $. Теперь вычисляем тангенс: $ \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5} $. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $ \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} $. Ответ: $2$$\frac{2}{5}$.

в) Для вычисления $ \tg(\arccos\frac{5}{13}) $ обозначим $ \alpha = \arccos\frac{5}{13} $. По определению, $ \cos\alpha = \frac{5}{13} $ и $ \alpha \in [0, \pi] $. Нам нужно найти $ \tg\alpha $. Найдем $ \sin\alpha $ из тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $. $ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} $. Отсюда $ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13} $. Поскольку $ \alpha \in [0, \pi] $, синус в этом диапазоне неотрицателен, поэтому $ \sin\alpha = \frac{12}{13} $. Теперь вычисляем тангенс: $ \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5} $. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $ \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} $. Ответ: $2$$\frac{2}{5}$.

г) Для вычисления $ \ctg(\arcsin\frac{8}{17}) $ обозначим $ \alpha = \arcsin\frac{8}{17} $. По определению, $ \sin\alpha = \frac{8}{17} $ и $ \alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Нам нужно найти $ \ctg\alpha $, который равен $ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $. Найдем $ \cos\alpha $ из тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $. $ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{8}{17})^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289 - 64}{289} = \frac{225}{289} $. Отсюда $ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{225}{289}} = \pm\frac{15}{17} $. Так как $ \sin\alpha = \frac{8}{17} > 0 $ и $ \alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, угол $ \alpha $ лежит в первой четверти ($ 0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $), где косинус положителен. Значит, $ \cos\alpha = \frac{15}{17} $. Теперь вычисляем котангенс: $ \ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{15/17}{8/17} = \frac{15}{8} $. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $ \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8} $. Ответ: $1$$\frac{7}{8}$.