Номер 12.1, страница 62 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.1. Выберите все верные равенства:

а) $ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}; $

б) $ \arccos 0 = \frac{\pi}{2}; $

в) $ \arcsin 0 = 2\pi; $

г) $ \mathrm{acrsin}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}; $

д) $ \mathrm{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6}; $

е) $ \mathrm{arcctg}(-\sqrt{3}) = \frac{2\pi}{3}; $

ж) $ \mathrm{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4}. $

Для того чтобы выбрать все верные равенства, необходимо проверить каждое из них, учитывая области значений обратных тригонометрических функций.

а) $arccos(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{3}$

Область значений функции арккосинус $y = arccos(x)$ — это промежуток $[0, \pi]$. Значение $-\frac{\pi}{3}$ не принадлежит этому промежутку, следовательно, равенство неверно.
Правильное значение: $arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Ответ: Неверно.

б) $arccos(0) = \frac{\pi}{2}$

Нужно найти угол $y$ из промежутка $[0, \pi]$ такой, что $cos(y) = 0$. Этим углом является $y = \frac{\pi}{2}$. Значение $\frac{\pi}{2}$ принадлежит области значений арккосинуса, и $cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Ответ: Верно.

в) $arcsin(0) = 2\pi$

Область значений функции арксинус $y = arcsin(x)$ — это промежуток $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Значение $2\pi$ не принадлежит этому промежутку, следовательно, равенство неверно.
Правильное значение: $arcsin(0) = 0$, так как $sin(0) = 0$ и $0 \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Ответ: Неверно.

г) $arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$

Область значений арксинуса — $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Значение $\frac{3\pi}{4}$ (что равно $135^\circ$) не принадлежит этому промежутку (который соответствует $[-90^\circ, 90^\circ]$). Следовательно, равенство неверно.
Правильное значение: $arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: Неверно.

д) $arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$

Область значений функции арктангенс $y = arctan(x)$ — это промежуток $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Значение $-\frac{\pi}{6}$ принадлежит этому промежутку.
Проверим значение: $tan(-\frac{\pi}{6}) = -tan(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Равенство выполняется.
Ответ: Верно.

е) $arccot(-\sqrt{3}) = \frac{2\pi}{3}$

Область значений функции арккотангенс $y = arccot(x)$ — это промежуток $(0, \pi)$. Значение $\frac{2\pi}{3}$ принадлежит этому промежутку.
Проверим значение: $cot(\frac{2\pi}{3}) = cot(\pi - \frac{\pi}{3}) = -cot(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Поскольку $cot(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \neq -\sqrt{3}$, равенство неверно.
Правильное значение: $arccot(-\sqrt{3}) = \pi - arccot(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: Неверно.

ж) $arccot(-1) = \frac{3\pi}{4}$

Область значений арккотангенса — $(0, \pi)$. Значение $\frac{3\pi}{4}$ принадлежит этому промежутку.
Проверим значение: $cot(\frac{3\pi}{4}) = cot(\pi - \frac{\pi}{4}) = -cot(\frac{\pi}{4}) = -1$. Равенство выполняется.
Ответ: Верно.

Таким образом, верными являются равенства: б), д), ж).